初中数学黄金三角形的重要知识点

　　【—黄金三角形】所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值。

　　黄金三角形

　　1.名?称定义

　　对应的还有黄金矩形等。

　　2.黄金三角形?的分类

　　黄金三角形分两种：

　　一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°;这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2。

　　另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°;这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：(√5-1)/2。

　　3.黄金三?角形的特征

　　当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形。这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线。

　　黄金三角形的一个几何特征是：它是唯一一种能够由5个与其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。

　　把五个黄金三角形称为“小三角形”，拼成的相似黄金三角形称为“大三角形”。则命题可以理解为：五个小三角形能够不重叠又不超出地充满大三角形。要满足这种填充，必要条件之一是大三角形的每条边都可以由若干条小三角形的边相加而成。

　　根据定义，第一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5+1)/2的等腰三角形，顶角为36°，底角为72°。

　　设小三角形的底为a，则腰为b=(√5+1)a/2，因为大三角形的面积为小三角形的5倍，则大三角形的边长

　　为小三角形对应边长的√5倍，即大三角形的底为A=√5 a，腰为B=√5 *(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。

　　大三角形的腰B与小三角形边的关系满足：B=2a+b。

　　而大三角形的底A与小三角形边的关系可列举如下：

　　2ab

　　可见大三角形底边的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充。故命题错。

　　另外一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5-1)/2的等腰三角形，顶角为108°，底角为36°。

　　设小三角形的底为a，则腰为b=(√5-1)a/2。

　　大家要记住的是黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°，它的腰与它的底成黄金比。

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