初中数学三线合一知识证明过程

　　【—三线合一证明】知识要领：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

　　三线合一的证明

　　已知：△ABC为等腰三角形，AD为中线。求证：AD垂直平分BC，BD=DC

　　∵△ABC为等腰三角形 (已知)

　　∴AB=AC(等腰三角形的性质)

　　∴∠B=∠C(等边对等角)

　　在△ABD和△ADC中：

　　∵AD为中线(已知)

　　∴BD=DC(等腰三角形中线为垂直平分线)

　　∵AD为公共边

　　∴△ADB≌△ADC(S.A.S)

　　可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等)

　　∵∠ADB+∠ADC=∠BDC(已证)，且∠BDC=180度(平角定义)

　　∴∠ADB=∠ADC=90°(等量代换)

　　得证

　　逆定理

　　① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

　　② 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

　　——为什么“如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形”不成立?

　　因为：角平分线和中线重合，只能说明左右两个三角形的：1)角平分线两旁的角相等;2)中线旁的两条边相等;3)另一条边相等。而全等三角形的判定定理中没有ASS这一条，故不成立。

　　知识归纳：其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形，可应用正弦定理，或过此边中点作另外两边垂线。

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