作者：佚名
●计名释义
关羽不同于诸葛.诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀.“过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀.
数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工.关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！
●典例示范
［例1］（2006年四川卷第19题）
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.
（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1；
（Ⅱ）求二面角P—AE—D的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.
［分析］这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体.对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.
［解Ⅰ］取D1C1的中点Q，过Q和MN作平面QRST.显然，M、N都在这平面里.
易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）.
［插语］其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉.正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功.以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.
【例2】(04•重庆卷题21)设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.?
（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；?
（Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.?
【分析】（Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：?
?
【解答】（Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入
?
【分析】(Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:?
(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.?
(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.?
这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.?
?
【点评】斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.??
●对应训练?
1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.?
(1)求数列{an}的通项公式，并求之值.?
(2)证明0<f<1.?
2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示).?
(1)求证:PD⊥PC;?
(2)求二面角P—DB—C的大小.?
?
●参考答案?
1.分析：(1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).
?(2)可以预见:f展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这
种数列的求和方法是“错项相减”.?
(3)f的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.?
2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.
(1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC.?
(2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且?O∈CD?,只须作OM⊥BD?即可.??
解答:(1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且?O∈CD,?BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.?
(2)作OM⊥BD于M，连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角,?
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