第二章《数列》测试题（二）

三、解答题

12.(2009浙江文)设为数列的前项和，，，其中是常数．

⑴求及；

⑵若对于任意的，，，成等比数列，求的值．

考查目的：考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系，考查等比数列的概念以及运算求解能力.

答案：⑴，；⑵或.

解析：⑴当时，；当时，.而也适合上式，所以.

⑵∵，，成等比数列，∴，即，化简并整理得. ∵此式对成立，∴或.

13.(2010全国卷Ⅱ文)已知是各项均为正数的等比数列，且，.

⑴求的通项公式；

⑵设，求数列的前项和.

考查目的：考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识，考查运算求解能力.

答案：⑴.⑵.

解析：⑴设的公比为，则.由已知，有，

化简得，解得，(舍去)，所以.

⑵由⑴知，所以 .

14.(2008湖南理)数列满足

⑴求，，并求数列的通项公式；

⑵设，，证明：当时，.

考查目的：考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识，考查数列求和、不等式证明的基本方法，以及分析问题解决问题的能力.

答案：⑴，，；⑵略.

解析：⑴∵，，∴，.

一般地，当时，，即，所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此.

当时，，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此.

∴数列的通项公式为.

⑵由⑴知，，①，②，得，，∴.

要证明当时，成立，只需证明当时，成立.

证明：要证明，只需证明.令，则

，∴当时，.

∴当时，.于是当时，.

15.(2012广东理)设数列的前项和为高考，满足，且，，成等差数列．

⑴求的值；

⑵求数列的通项公式；

⑶证明：对一切正整数，有．

考查目的：考查数列和不等式的概念及其性质、数列与函数的关系等基础知识，考查数列递推公式的运用、不等式放缩等基本方法，考查综合运用知识分析问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.

答案：⑴；⑵；⑶略.

解析：⑴在中，令得；令得，解得，.又∵，∴解得.

⑵由，得.又∵也满足，∴成立，∴，∴，∴.

⑶(法一)∵，∴，

∴.

(法二)∵，∴，当时，，，，…，，累乘得，

∴.

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