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三角函数线

编辑: 路逍遥 关键词: 高中数学 来源: 记忆方法网

一、知识与技能

 

1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值

 

2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;

 

3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题

 

二、过程与方法

 

1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程,提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;

 

2.让学生从所学知识基础上发现新问题,并加以解决,提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.

 

三、情感、态度与价值观

 

1.通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究获取知识.

 

2.通过三角函数线学习,使学生进一步加深对数形结合思想的理解,培养良好的思维习惯,拓展思维空间

 

教学重点:三角函数线的作法及其简单应用

 

教学难点:利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.

 

授课类型:新授课

 

课时安排:1课时

 

教学过程:

 

一、温故而知新

 

1. 前面我们学习了利用单位圆定义三角函数,

 

复习:1单位圆的定义:圆心在圆点,半径等于单位长的圆叫做单位圆。

 

 

2 三角函数的定义:如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:

 

(1)叫做的正弦(sine),记做,即;

 

(2)叫做的余弦(cossine),记做,即;

 

(3)叫做的正切(tangent),记做,即.

 

正弦函数,余弦函数,正切函数统称为三角函数

 

师:我们那么能否在此基础上用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢?这就是我们今天一起要研究的问题.

 

二、研探新知

 

(1)设角的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,

 

用的三角函数表示点P的坐标         ;

 

线段OM的长度|OM|=         ;

 

线段MP的长度|MP|=          .

 

(利用几何画板演示,角的变化过程中,角的终边和单位圆的交点坐标的变化)

 

 

 

 

 

|MP|=|y|=|sinα|,    |OM|=|x|=|cosα|

 

(2)思考1:如何去掉上述等式中的绝对值符号,为此能否给线段OM,MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?

 

2.有向线段

 

我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.

 

当角的终边不在坐标轴上时, 规定:

 

(1) 以为始点、为终点的线段:当线段与轴同向时,的方向为正向,且有正值;当线段与轴反向时,的方向为负向,且有负值;其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有   

 

(2)以为始点、为终点的线段,当线段与轴同向时,的方向为正向,且有正值;当线段与轴反向时,的方向为负向,且有负值;其中为点的纵坐标.这样,无论那种情况都有   

 

像这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段.

 

思考2:你能借助单位圆,找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗?

 

过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.

 

(利用几何画板演示)

 

根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有

 

 

 

 

 

三、三角函数线

 

由上述四个图看出:当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,

 

于是有

 

,        ,.

 

我们把这三条与单位圆有关的有向线段分别称为角的正弦线,余弦线,正切线.他们统称三角函数线

 

几点说明:

 

①三条有向线段的位置:正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段;余弦线在轴上;正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外。

 

②三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向与的终边的交点。

 

③三条有向线段的正负:三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值,与轴或轴反向的为负值。

 

④三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。

 

思考1:角的终边在x轴或y轴上时, 角的正弦线,余弦线,正切线是怎样的?

 

思考2:观察角的终边在各位置的情形,分析三角函数线的变化情况?

 

四、师生共议,排难解惑,发展思维

 

例1.画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:

 

(1);;    (2).

 

学生练习:画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:

 

(1)         (2)

 

师:请大家总结这三种三角函数线的作法:

 

第一步:作出角的终边,与单位圆交于点;

 

第二步:过点作轴的垂线,设垂足为,得正弦线、余弦线;

 

第三步:过点(1,0)作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线的交点设为,得角的正切线.

 

特别注意:三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要注意它们的方

 

向,分清起点和终点,书写

 

五、三角函数线的应用

 

例1. 利用三角函数线比较下列各组数的大小:

 

(1) 与 ; (2) tan与tan ;(3);

 

(4)已知,试比较的大小.

 

 

例2已知是第一象限角,证明sinα+ cosα>1;

 

分析:作单位圆,正弦sina=MP;余弦cosa=OM  OP=1

 

在Rt三角形OMP中MP+OM>OP即sinα+cosα>1;

 

 

 

课后深入探究:

 

(1) 对任意角有,sin2 + cos2 = 1

 

(2) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1,

 

例3利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边,并写出这些角的集合:

 

(1)    (2)    (3) 

 

例3变式 利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边,并写出这些角的集合:

 

(1) ;     (2)≤- .

 

 

分析:先作出满足,的角的终边,

 

然后根据已知条件确定角终边的范围.

 

六、变式练习,强化概念

 

变式1:利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边,并写出这些角的集合:

 

(1);  高中物理 (2);  (3)tana  (4);

 

变式2:求下列函数的定义域:

 

(1) y =     (2) y = lg(3-4sin2x) .

 

七.课堂小结

 

(1)了解有向线段的概念.

 

(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦,余弦,正切函数值分别用正弦线,余弦线,正切线表示出来.

 

(3)用三角函数线理解三角函数的定义

 

(4)体会三角函数线的简单应用.

 

八、作业:

 

1课后练习第三题

 

2预习同角三角函数基本关系式

 

教学后记:本节课容量较大,使用多媒体辅助教学,几何画板动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验,探讨数学问题。这样充分发挥多媒体的优势,既丰富了三角函数线的概念,又培养了学生发现问题、解决问题的能力,探索精神、创新意识也有了相应的提高。例3变式是一个教学难点,学生会遇到三个障碍,一是:两个角的确定,二是从相等到不等式的过渡问题,三是角的集合的表示问题。教学时应让引导学生自己总结出解题方法和步骤 ,安排例3目的是为例3变式作铺垫作用,同时也降低了知识的难度,让其基础差的学生也能学习和掌握知识。另外安排课后深入探究其目的为下节内容作铺垫作用。 


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