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2.3空间直角坐标系

编辑: 路逍遥 关键词: 高中数学 来源: 记忆方法网

考纲要求:①了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置.

②会推导空间两点间的距离公式.

 

2.3.1-2空间直角坐标系、空间两点间的距离

重难点:了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会推导空间两点间的距离公式.

经典例题:在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问

   (1)在y轴上是否存在点M,满足?

   (2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M坐标.

 

 

 

 

 

当堂练习:

1.在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(    )

  A.(-1,2,3)         B.(1,-2,-3)      C.(-1, -2, 3)       D.(-1 ,2, -3)

2.在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为(    )

  A.(-3,4,5)         B.(-3,- 4,5)      C.(3,-4,-5)        D.(-3,4,-5)

3.在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为(    )

  A.           B.6           C.           D.2

4.点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P/的坐标为(    )

  A.(-1, 高一 0, 2)        B.(-1,0, 2)      C.(1 , 0 ,2)         D.(-2,0,1)

5.点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是(    )

  A.( 4, 2, 2)        B.(2, -1, 2)     C.(2, 1 , 1)         D. 4, -1, 2)

6.若向量在y轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量平行的坐标平面是(    )

  A. xOy平面         B. xOz平面       C.yOz平面         D.以上都有可能

7.在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是(    )

  A.关于x轴对称       B.关于xOy平面对称    C.关于坐标原点对称       D.以上都不对

8.已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B的坐标是(2 , t, t), 则A与B两点间距离的最小值为(    )

A.             B.            C.          D.

9.点B是点A(1,2,3)在坐标平面内的射影,则OB等于(    )

A.       B.      C.      D.

10.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为        (    )

A.(,4,-1)    B.(2,3,1)   C.(-3,1,5)      D.(5,13,-3)

11.点到坐标平面的距离是(    )

  A.   B.        C.       D.

12.已知点,, 三点共线,那么的值分别是(    )

A.,4      B.1,8  C.,-4      D.-1,-8

13.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是(    )

A.    B.            C.      D.

14.在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, ),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q的坐标是________________.

15.已知A(x, 5-x, 2x-1)、B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时x的值为_______________.

16.已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B(2,4,1)、C(p,3,q+2),若A、B、C三点共线,则p =_________,q=__________.

17.已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________.

18.求下列两点间的距离:

A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1);

C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3).

 

 

 

 

19.已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ABC是直角三角形.

 

 

 

 

20.求到下列两定点的距离相等的点的坐标满足的条件:

A(1 , 0 ,1) , B(3 , -2 , 1) ;

A(-3 , 2 , 2) , B(1 , 0 , -2).

 

 

 

 

21.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且边长为2a,棱PD⊥底面ABCD,PD=2b,取各侧棱的中点E,F,G,H,写出点E,F,G,H的坐标.

 

 

参考答案:

 

经典例题:

解:(1)假设在在y轴上存在点M,满足.

       因M在y轴上,可设M(0,y,0),由,可得

       ,

       显然,此式对任意恒成立.这就是说y轴上所有点都满足关系.

(2)假设在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形.

由(1)可知,y轴上任一点都有,所以只要就可以使得△MAB是等边三角形. 因为

       于是,解得

       故y轴上存在点M使△MAB等边,M坐标为(0,,0),或(0,,0).

 

当堂练习:

1.B; 2.A; 3.A; 4.B; 5.C; 6.B; 7.B; 8.C; 9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14. (0, ); 15. ; 16. 3 , 2; 17. (0, ;

18. 解: (1)|AB|= (2)|CD|==

19. 证明:

为直角三角形.

20. 解: (1)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则,

  化简得4x-4y-3=0即为所求.

(2)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则,

  化简得2x-y-2z+3=0即为所求.

21. 解: 由图形知,DA⊥DC,DC⊥DP,DP⊥DA,故以D为原点,建立如图空间坐标系D-xyz.

因为E,F,G,H分别为侧棱中点,由立体几何知识可知,平面EFGH与底面ABCD平行,

从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半,也就是b,

由H为DP中点,得H(0,0,b)

       E在底面面上的投影为AD中点,所以E的横坐标和纵坐标分别为a和0,所以E(a,0,b),

       同理G(0,a,b);

       F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G,故F与E横坐标相同都是a,

       与G的纵坐标也同为a,又F竖坐标为b,故F(a,a,b).


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