一、选择题

1.(2010全国Ⅱ理)如果等差数列中，，那么(    ).

A.14              B.21            C.28               D.35

考查目的：考查等差数列的基本运算和性质.

答案：C

解析：∵ ，∴，∴.

 

2.(2009辽宁文)已知为等差数列，且，，则公差(    ).

A.             B.          C.               D.

考查目的：考查等差数列的概念和基本运算.

答案：B

解析：∵，而，∴.

 

3.(2012四川理)设函数，是公差为的等差数列，，则(    ).

A.                B.            C.             D.

考查目的：考查等差数列的概念和简单性质、两角和与差的余弦公式，考查推理判断能力.

答案：D

解析：∵，数列是公差为的等差数列，∴，根据两角和与差的余弦公式，得；∵不是的倍数，∴，且，∴，故.

 

二、填空题

4.(2009山东文)在等差数列中，，，则          .

考查目的：考查等差数列的概念及基本运算．

答案：13.

解析：设等差数列的公差为，则由及，得，∴.

 

5.(2007江西理)已知数列对于任意，有，若，则        ．

考查目的：考查数列及等差数列的概念、通项公式.

答案：4

解析：令，，得，∴是首项为，公差为的等差数列，∴ .

 

6.数列中，，，又数列为等差数列，则      ．

考查目的：考查数列及等差数列的概念、通项公式及基本运算.

答案：.

解析：设，则是等差数列，设公差为；∵，，∴，，∴，∴，即，解得.

 

三、解答题

7.己知为等差数列，，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数依次构成一个新的等差数列，求：

⑴原数列的第12项是新数列的第几项？

⑵新数列的第29项是原数列的第几项？

考查目的：考查等差数列及其通项公式以及运算求解能力.

答案：⑴第45项；⑵第8项.

解析：设新数列为，其公差为，则，∵，∴，得，∴.又，∴，即原数列的第项为新数列的第项．

⑴当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项；

⑵由，得，故新数列的第29项是原数列的第8项．

 

 

8.(2010安徽理改编)设为等差数列且数列的每一项都不为0.证明：对任何，都有.

考查目的：考查等差数列的概念、裂项相消求和，推理论证能力和运算求解能力.

解析：设数列的公差为.若，则所证等式显然成立.若 高三，则

.

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