一. 教学内容：直线与圆的位置关系（一）

二. 重点、难点：

1. 圆周角定理

2. 圆心角定理

3. 圆的内接四边形的对角互补

4. 圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角

5. 圆内接四边形判定定理

6. 切线的判定定理

7. 切线的性质定理

8. 弦切角定理

【典型例题】

[例1] 如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC。

证明：

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[例2] 如图，已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，连结OE、OF。求证：OE=OF及CE=DF。

证明：延长EO交AF于N点 ∵ BE⊥CD，AF⊥CD ∴ EB//AF ∴ B= A

在△BEO与△ANO中，BO=AO ∠B=∠A，∠BOE=∠AON

∴ EO=NO ∴ OF=EO=NO

过O作OM⊥CD于M ∴ CM=DM EM=MF ∴CE=DF

[例3] 已知：如图所示，AB是⊙O的直径，M是AB上一点，过M作弦CD且MC=MO，求证： 。

证明：连结CO且延长交⊙O于E点 ∵ MC=MO ∴ ∠MCO=∠MOC

∵ ∠EOB=∠MOC ∴ ∠MCO =∠EOB

∴ ∵∠MCO是圆周角

∴ ∴

[例4] 已知：如图AB是直径，C是 的中点，CD⊥AB于D交AE于F，求证：CF=AF。

证明：连结AC，CB ∵ C是AE的中点 ∴ ∠B=∠CAE ∵ AB是直径

∴ ∠ACB=90° ∵ CD⊥AB

∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠ACD=∠CAF ∴ CF=AF

[例5] 已知：△ABC内接于⊙O，弦AB的垂直平分线和CA及BC的延长线分别交于点D及E，交⊙O于F两点，求证：ED?DO=AD?DC。

证明：延长AO交⊙O于M点，连结CM ∵ AM是⊙O的直径

∴ ∠ACM=90° 又EH⊥AB ∴ ∠EHB=90° ∵ ∠AMC=∠ABC

∴ ∠CAM=∠E 又∠ADO=∠CDE ∴ △ADO∽△CDE

∴

证明：连结AB ∵ ABEC是⊙O1的内接四边形 ∴ ∠BAD=∠E

又 ∵ ADFB是⊙O2的内接四边形 ∴ ∠BAD ∠F=180°

∴ ∠E ∠F=180° ∴ CE//DF

[例7] 四边形ABCD内接于⊙O，对角线是直径，AC与BD相交于点E，BO⊥AD于H，AD=OA=2。求：

（1）∠ABD和∠BEC的度数；

（2）OE：EC；

（3）四边形ABCD的面积。

证明：（1）∵ BO⊥AC ∴ AH=HD ∴ AD=OA=2 ∴ AH=1

∴ ∠OAH=60° ∵ AC是⊙O直径 ∴ ∠ADC=90°

∴ ∠ACD=90°－∠OAH=90°－60°=30°

∵ ∠ABD=∠ACD ∴ ∠ABD=30°

∵ BH是AD的垂直平分线 ∴ BA=BD

∴ ∠BDA=∠BAD=在Rt△ADE中， AED=180°－（ EAD EDA）=180°－（60° 75°）=45°

∴ BEC= AED=45°

（2）在Rt△ADC中，DC=

∵ AD⊥DC，AH⊥BH ∴ BH//DC ∴ ∴ OE：EC=1：（3）在

∴

作BF⊥DC交DC的延长线于F，则四边形DHBF是矩形

∴ BF=HD=1 ∴ ∴

[例8] 已知点A、B、C、D顺次在⊙O上， ，BM垂直于AC，垂足为M，证明：AM=DC CM。

证明：延长DC至N，使CN=CM，连结BN

由∠BAD ∠BCD=180° ∠BCN ∠BCD=180° 知∠BAD=∠BCN

由 知∠BAD=∠BCA AB=BD ∴ ∠BCM=∠BCN

而BC=BC，CM=CN，BM⊥AC ∠BMC=90°

∴ △BCM≌△BCN BM=BN，∠BNC=∠BMC=90°

在Rt△ABM与Rt△DBN中，AB=BD，BM=BN，∠BMA=∠BNC=90°

∴ Rt△ABM≌Rt△DBN AM=DN ∴ AM=DC CM

[例9] 已知弦CD垂直于圆O的直径AB，L为垂足，弦AE平分半径OC于H，求证：弦DE平分弦BC于M。

证明：连结BD，由 ∴ ∠BAE=∠BDE

由直径AB⊥CD知BC=BD ∠DBC=2∠CBA

又∠AOC=2∠ABC 故∠AOH=∠DBM ∴ △AOH∽△DBM

∴ 分析：CD是⊙O的切线，连结OC，则OC⊥CD，连结圆心与切点是作辅助线常用的之一。

证明：连结OC

∴ AC平分∠DAB

[例11] AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于AD，求证：DC是⊙O的切线。

分析：切线要满足：（1）过半径外端；（2）与半径垂直，而直线CD过半径OD的外端，故关键在于证明CD与OD的垂直关系，利用三角形全等可以证明∠ODC=90°。

证明：连结OD ∵ OA=OD ∴ ∠1=∠2 ∵ AD//OC

∴ ∠2=∠4 ∠1=∠3 ∴ ∠3=∠4 ∴ OB=OD ∠3=∠4 OC=OC

∴ △OBC≌△ODC ∴ ∠OBC=∠ODC

∵ BC是⊙O的切线 ∴ ∠OBC=90° ∴ ∠ODC=90° ∴ DC是⊙O的切线

[例12] 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切。

证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F，AB与小圆O切于点E

∴ OE⊥AB ∵ OF⊥CD AB=CD ∴ OE=OF

又OF⊥CD ∴ CD与小圆O相切

【模拟

1. 下列三个命题：

① 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；

② 垂直于弦的直径平分这条弦；

③ 相等的圆心角所对的弧相等；

其中是真命题的有（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

2. 一块手表，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是（ ）

A. 60° B. 80° C. 120° D. 150°

3. 已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心到AB的距离为3cm，则⊙O的半径是（ ）

A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 8cm

4. 如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（ ）

A. 100° B. 80° C. 50° D. 40°

5. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，则OD的长是（ ）

A. 3cm B. 2.5cm C. 2cm D. 1cm

6. 已知如图，⊙O的两条弦AE、BC相交于点D，连接AC、BE，若∠ACB=60°，则下列结论中正确的是（ ）

A. ∠AOB=60° B. ∠ADB=60° C. ∠AEB=60° D. ∠AEB=30°

7. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）

A. ∠COE=∠DOE B. CE=DE C. OE=BE D.

8. 下列语句：① 相等的圆心角所对的弧相等；② 平分弦的直径垂直于弦；③ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④ 三角形的外心到各顶点的距离相等，其中不正确的有（ ）

A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 以上都不对

9. 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

10. 如图P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有（ ）

A. 4个 B. 8个 C. 12个 D. 16个

11. 如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB//CD，AB为直径，DO平分∠ADC，则∠DAO的度数是（ ）

A. 90° B. 80° C. 70° D. 60°

12. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=1，CD=8cm，则A，B两点到直线CD的距离之和为（ ）

A. 12cm B. 1 C. 8cm D. 6cm

13. 下列图中能够说明∠1>∠2的是（ ）

14. 如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径且∠AOC=50°，过A作AE//CD交⊙O于E，则 的度数为（ ）

A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°

15. 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，此四边形的周长为（ ）

A. 50 B. 52 C. 54 D. 56

16. 如图，AB是⊙O的直径，点D，E是半圆的三等分点，AE，BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. B.

17. 托勒密定理：圆内接四边形对边积的和等于两条对角线的积。

18. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，过D作AC的垂线，垂足为E，求证：DE是⊙O的切线。

【试题答案

1. D 2. C 3. C 4. D 5. A 6. C 7. C 8. C 9. B 10. C

11. D 12. D 13. B 14. D 15. B 16. A

17. 如图，作∠ABP=∠DBC，BP与AC交于P点，可得△ABP∽△DBC

有 高中化学，同理可证△BCP∽△BDA

有

则

18. 证明：连结OD ∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C ∵ OB=OD ∴ ∠B=∠ODB

∴ ∠ODB=∠C，OD//AC 又DE⊥AC ∴ OD⊥DE而OD是⊙O的半径

∴ DE是⊙O的切线

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