一. 教学内容：直线与平面垂直；平面与平面垂直；线面成角、面面成角

二. 教学重、难点：

1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，了解三垂线定理及其逆定理，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

2. 掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法，并会计算所求角的大小。

【典型例题

[例1] 如图所示，在棱长为 的正方体 中，E、F分别是棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。

（1）求二面角 的大小；

（2）M为棱 的值为多少时，能使

解：（1）在底面AC中 ∵ AC⊥BD，EF//AC

∴ BG⊥EF，连结B1G 又 ∵ B1B⊥底面AC ∴ B1G⊥EF

∴ 二面角 的正切值为

∴ 二面角 的大小为（2）当 时能使证明如下：∵

而∴ ∴ 。求证：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。

证明：连结AC、BD交于O，连结OM、ON、PM、MC

则NO//PA，又PA⊥平面ABCD

∴ NO⊥平面ABCD ∴ NO⊥CD，又MO⊥CD

∴ CD⊥平面MON ∴ CD⊥MN

在 中， ∴ PA=AD

又 ∵ AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM ∴ ∴ PM=MC ∵ N为PC的中点 ∴ MN⊥PC

又 ，AD=BC= ，将其沿对角线BD折成直二面角。

（1）证明AB⊥平面BCD；

（2）证明平面ACD⊥平面ABD；

（3）求二面角 的大小。

解析：（1）证明：在

∴ ∴ 又 ∵ 二面角 为直二面角， 平面ABD，DB=平面 平面BDC

∴ AB⊥平面BDC

（2）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ DC⊥BD ∵ AB⊥平面BDC，AB 平面ABD

∴ 平面ABD⊥平面BDC

又 ∵ BD=平面 平面BDC，DC 平面BDC，DC⊥平面ABD

又 ∵ DC 平面ADC ∴ 平面ADC⊥平面ABD

（3）作BQ⊥CE于Q，由平面几何，得

连结AQ，由三垂线定理，AQ⊥CE ∴ 是二面角 的平面角

在 中，

∴ 即二面角 的大小为（1）AE与CF所成的角；

（2）CF与平面BCD所成的角。

解：（1）如图，连结DE，取ED的中点K，连结FK、CK

∵ F是AD的中点

∴ AE//FK 则设正四面体棱长为 ，则可得在 中，∴在 中，

∴ ，即异面直线AE和CF所成角为

（2）在正四面体ABCD中，∵ 各棱长都相等，E是BC的中点

∴ BC⊥AE，BC⊥DE ∴ BC⊥面AED ∴ 面ADE⊥面BCD，交线为DE

过A作AO⊥DE于O，则AO⊥面BCD

过F作FH⊥DE于H，则FH⊥面BCD，连结CH

∴ 为CF与面BCD所成的角

∵ ∴ 故CF与面BCD所成的角为

[例5] 在三棱锥 中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB= ，（1）求证：SC⊥平面BDE；

（2）求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小。

解：（1）证明：∵ SA⊥平面ABC，AB、AC、BD 平面ABC

∴ SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD ∴

∵ 又 DE⊥SC ∴ SC⊥平面BDE

（2）由（1）的结论及∴ 由AB⊥BC，得

在

∴

[例6] 如图所示，矩形ABCD中，PD⊥平面ABCD，若PB=2，PB与平面PCD所成的角为 角。

（1）求CD的长；

（2）求PB与CD所成的角；

（3）求二面角 的余弦值。

解：（1）∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥BC 又 BC⊥DC

∴ BC⊥平面PDC ∴ 为PB与平面PCD所成的角，即同理， 即为PB与平面ABD所成的角

∴ 在 中，

在 中，<2" style='width:96pt; > ∴ CD=1

（2）∵ AB//CD ∴ PB与CD所成的角即为PB与AB所成的角，∵ PD⊥平面ABCD，AD⊥AB ∴ PA⊥AB

在（3）由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CF

∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥CE 又 CE⊥BD ∴ CE⊥平面PBD

CF为平面PBD的斜线，由于EF⊥PB ∴ PB⊥CF

∵ 为二面角<7" > 的平面角

在 中，<9" style='width:48pt; > ，DC=1，BD=∴ CE=在 ∴

∴ 二面角 的余弦值为 中，（1）证明 ；

（2）AE等于何值时，二面角

解：（1）证明：∵ AD=AA1 ∴ 四边形ADD1A1为正方形

故 又 ∴ AB⊥平面AA1D1D 又 平面AA1D1D ∴ AB⊥A1D

又 平面∴ ∴

（2）过D作DH⊥CE于H，连结D1H

由于D1D⊥平面ABCD，EC 平面ABCD ∴ 故 平面 ，则∴ 的平面角

设 在 中，∵ ∵ 在 中，

∴ 在 中， 中，

在 中，

∴

∴ AE 的大小为

【模拟】

一. 选择题：

1. 在正方形 中，E、F分别是 、A. AB⊥平面EFB B. AD⊥平面EFB

C. BF⊥平面AEF D. BD⊥平面AEF

2. 空间四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH为（ ）

A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 不能确定

3. 已知直线 ，那么必定有（ ）

A. B. C. 且

4. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）

A. C.

5. 在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将A. B. C.

6. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 A. B. D. ，A. C.

8. 如图，在正三棱柱 ，则A. B. C.

二. 解答题：

1. 在四面体 中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B?DAP?DC的大小。

2. 如图甲，在直角梯形PDCB中，PD//CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC= 角，设E、F分别为AB、PD的中点。

（1）求证：AF//平面PEC；

（2）求二面角 的大小。

3. 如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=（1）求证： ；

（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。

【试题答案】

一.

1. A

解析：由 ⊥面BEF

2. C

解析：根据三角形中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，又 ∵ AC⊥BD，∴ EF⊥FG，∴ 四边形EFGH为矩形。

3. A

解析：由已知4. C

解析：如图， 为侧棱与底面所成的角，∵ ，PA=1，∴

5. A

解析：如图， 为BG与IH所成的角为

6. C

解析：过C作平面PAB的垂线，则垂足O在设PC= 在 中，

∴

7. D

解析：不妨设PM=PN=

∴

MN=

∴

8. D

解析：本题考查直线与平面所成的角，如图，E、O为B、D在平面A1C上的射影，则 即为所求。易知 ，AD= ，则

二.

1. 解析：过点B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥PA于F，连结BF

∵ PC⊥平面ABC ∴ BE⊥平面PAC ∴ BE⊥PA

∴ 设PC=1，则AB=BC=CA=PC=1 ∴ E为AC的中点

∴

∴

∴ 所求二面角的大小为

2. 解析：（1）证明：取PC的中点，连结FG、EG，则FG//CD，且∵ AE//CD，且 ∴

从而四边形AEGF为平行四边形 ∴ AF//EG ∵ ∴ AF//平面PEC

（2）∵ CD⊥平面PAD ∴ 平面PAD⊥平面ABCD

∵ PA=AD，∴ PA⊥BC ∵ BC&perp 高一;AB ∴ BC⊥平面PAB ∴ BC⊥PB

∴ 在∴ 二面角 大小为3. 解析：（1）证法一：如图，∵ 底面ABCD是正方形，∴ BC⊥DC

∵ SD⊥底面ABCD

∴ DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得BC⊥SC

证法二：如图所示

∵ 底面ABCD是正方形 ∴ BC⊥CD ∵ SD⊥底面ABCD ∴ SD⊥BC

又 （2）一：∵ SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形

∴ 可以把四棱锥S?DABCD补形为长方体 ，如图所示，面ASD与面BSC所成的二面角就是面 与面∵ SC⊥BC，BC//A1S ∴ SC⊥A1S，又 SD⊥A1S

∴ 为所求二面角的平面角

在∴

方法二：如图所示，过点S作直线 ，∴ 在面ASD上

∵ 底面ABCD为正方形 ∴ ∴ 在面BSC上

∴ 为面ASD与面BSC的交线 ∵ SD⊥AD，BC⊥SC

∴

（3）如图所示，取AB中点P，连结MP、DP

在 中，由中位线定理得MP//SB ∴ ∵

∴ 在∴ 异面直线DM与SB所成的角为

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