数学教师所需婴的知识问题，已经成为各国教师教育研究和教师培训工作者关心与讨论的热点．在过去的30年，对教学所需的知识的关注不断增加，有些人的关心源自感觉，也有些人的关心随着课程改革而变化．课改的进展对教师的要求与日俱增．各国教师感受的压力千差万别，然而，如何界定数学教学所需要的知识，是普遍感到关切的问题．数学教师应该知道什么，他们知道了什么，什么知识是可靠的，这些知识是否可以度量?如何度量?数学教师如何获得知识，在什么时候获得知识，在哪里获得并且巩固这些知识?都是当前教师职业教育令人感兴趣的问题．
一、国际数学教育界关注的热点问题
近年已经成立国际社团，专门研究数学教师为教学的知识．在2008年召开的国际数学教育大会(1cME—11)上成立了研究这个问题的专门小组(rI'SG27：教学所需要的数学知识)．教师的数学知识以及作为数学职业工作者的知识，两者有相似之处，d王有重要差别．差别何在?既是知识量不同，也在于知识领域不同．差异不仅表现为数学知识的性质，也表现为它的使用功能，人们刘两者之问的差异正在研讨．
一些研究以试验数据为基础，一些对教师的数学知识作理论思考，从而提供了教师数学教育的新想法．研究挑战了现行数学教师教育：一些大学的数学教师教育强调学术型的数学训练，与数学教学实践缺乏联系．然而，加拿大魁北克双语区的数学教师教育令人感到兴奋，那儿有数学教师知识研究
的实体，教师教育的作者在其中发挥主要作用．
本文以及所给的例子说明，这个双语社团这些年来得到了一批成果．职前数学教师教育取得各种各样的发展，也受到一些干预．该团体颁布了数学教师教育的基本原理，它不仅从理论上阐述原理，而且也界定了教师的数学教学知识的范围．
利用教师合作研究的课例，可以更好地理解教师在数学教学中，在学习情境中所需要的知识．研究源于20世纪70年代，加拿大蒙特利尔大学颁布了中学数学教师教育大纲，提出了数学教师教学所需的数学知识的观点，指出教师的知识由两个相互补充的主轴构成：
(1)从理论上说明数学教师在其数学教学中所需要的知识；
(2)从教师的专业发展的角度对数学教学知识的结构成分和特点作出说明．
这个大纲虽然几经修改，但是一直指导着数学教师的职业发展．
二、数学教学知识的四维结构
这里所提供的教学课例，是由合作研究中心提出的，有关学生探索数学问题的一些片段，其目的是发展一个模型的过程，我们从两个资料来源进行刻画．论文引用了教师和研究者之间的交流，通过分析学生数学学习的一些过程，说明教师进行数学教学所需要的知识，它们的成分、结构与特征．
课例1(初三)数学课j二，罗伊(Roy)老师提出一个问题，他交给学生一组形状各异的纸片，让学生把这组纸片放大到原来的125％．罗伊说明活动的意义．
·他让学生提m完成任务的方案与检验结果的标准，学生进行交流，并就不同的纸片如何一对应取得共识．罗伊给学生说明任务，让他们思考有关策略，并相互解释他们放大一个纸片图形的策略，找出共同认可的策略．
·教师引导学生相互合作进行工作．按照学习大纲的精神，学生个人能力和班级水平，指导学生
“通过合作，实现每个人的潜力”．罗伊强调贯彻学习大纲及教学目标．注意合作学习的重要性，突出
了制度的维度．
·学生记录活动的过程，数学的维度也隐藏在活动中．就是：
(1)在选择中体现对放大系数(一个百分数)的关注；
(2)在活动中要求学生进行比例推理，包括需要理解位似中心、位似比和位似变换的知识；
(3)在活动过程中，学生关注各种图形的几何特征性质，关注放大因子作为数的性质．
数学活动的关键因素是教师对活动的设计，它是教学计划的核心．在教学设计中，教师要调用四
个维度的知识，即：
(1)教学规定的维度：教学大纲，相应的教材和教学参考书，这些文献所涉及的知识；
(2)教学目标的维度：对活动目标的分析，关心它能够推动什么，思考学生在活动中应该得到哪些方面的发展；
(3)数学的维度：与活动相关的数学知识，如课例1，需要进行数学推理，推理中所用的概念，定理与性质，推理的数学表述，数学活动过程的记录；
(4)教学法的维度：与他人一起学习，在数学活动中，班级、小组构成小社会，师生交流，相互争论，教学相长．
由课例l可见，教师要从多方面考虑设计数学活动，需要把各种各样的知识与能力有机结合起来，从而说明教师数学教学知识的多样性与综合性．
三、数学教学知识的实践性与综合性
以下提供的教学课例，用以说明教师对两个不同学生小组的引领，看到教师对学习活动的指导作
用，在教学中教师对行动作出各种调整．以下用不同年级、不同内容的教学课例，说明数学教学知识的特征．
课例2(初一)教室里有两堆不同颜色的单位小立方块．教师让学生小组考虑：利用这小立方块可以堆砌高度一定的不同的塔．这些塔是用白色或黄色方块构建的，同颜色的两个方块不能堆叠在一起，每个小塔的底部只放一个方块．学生使用方块做尝试、教师问：
·如规定小塔有五个方块高，可以构建多少座不同构成的小塔?如规定小塔有六个方块高，可以构建多少座不同构成的小塔?
·是否可以找到构建塔数的规律和方法?解释你是怎样想到的．
小组A学生根据问题进行工作，一些问题迅速呈现出来：
(1)与任务相关问题的约束条件：罗伊推动学生重述没有同颜色的方块能够堆叠在一起(但是除去这个条件后，再让学生说明约束条件对解题的限制)，重新解决约束条件的问题．
(2)提出有关塔的对称性的相关问题：有学生问，如果塔的颜色依次为白白白白黄，是否等同于黄白白白白?罗伊建议想象一个真正的塔，其底层涂了黄色或白色，他问：“如果我们在每个不同的水平上涂色，我们是否得到同样的塔?如果你说是或否，说出你的理由．”
(3)有关只用一种颜色构建塔的可能性的问题，罗伊问他们：“如何看待这些塔要满足题日的条件，即同颜色的方块不能堆叠?”
小组B有些学生欣赏从较小的塔人手的想法．某些小组开始明确叙述一个模式，并开始说明对于任意高度所能构建的符合条件的塔的个数．经过一段时间合作努力，小组得到较简单情况下的结果．如下表．
经过讨论，学生达成了一些共识：
·当高度是l到6时，所构建的塔都有两种模式；
·当高度是2以上时，塔的模式都是两色相间的；
·高度是3，5，7等奇数时，一种颜色方块数日是奇数，另一颜色方块数目是偶数；
·高度是2，4，6等偶数时，构成塔的两种颜色的方块数目相等．
还有一些意见是非数学的，例如有学生指出，“塔不能太高，否则塔就站不稳了．”
开始时，学生对问题的处理是发散的，而教师的即时处理必须是根据课堂活动的具体情况机灵
而有创意．在教师的指导下，学生倾向于注意约束条件，例如，规定从底层是一个方块开始，这样上面每一层也只放一个方块．教师的教学处理不能预先设定，而要根据活动的具体进展“见机行事”，比较各组学生的情况，有针对性地进行．
什么是“见机行事”?没有必要做具体的解释，教师在教学中的现场扮演，是对学生在活动中的具体处理的及时应答．
·这种“在行动中扮演”就好比下棋，看学生如何做，教师要先读棋，再应答．棋子支配着罗伊分析学生思维中的有关因素．例如，B组在开始概括模式时遇到困难，罗伊建议从简单情况开始．又如出现同色两方块相邻时，教师让A组重述问题的约束条件．这种读懂学生的思维表述，在一定的程度上是罗伊回答学生问题的标准．学生的行动是受一定的思维所支配的，教师应该关注学生的问题、解法、困难以及应对问题的途径．
·这种“见机行事”，涉及做事的方式．例如罗伊应答组A的关于塔的对称性问题，他建议学生考虑颜色的顺序，使得能够按照相同标准处理．
·这种“见机行事”涉及教帅教学的重要方面，这就意味着，教师通过适当的问题，让学生鉴别他们的解答．这里也隐含师牛交流各自数学观点以及解决问题的方法．
从课例2可见，数学教师的教学知识，主要是在教学中产生，并在教学中得到检验和强化．在教
学中所用到的知识，往往不局限于某个章节的知识，而是与数学其他分支，其他学科的知识综合交
织在一起的．对于课例1，用到了四个维度的知识；对于课例2，教师要用到排列组合的准备知识，数的奇偶性知识，重心与平衡的知识，模式与结构的知识，等等．在教学中所用到的知识，也不局限于数学内容的知识，还包括动手实践，探索发现，从简单到复杂，从特殊到一般等科学认识沦和方法论的原理．
四、对学生解答的感知与教学决策
对学生的关心与理解，是正确教学决策的前提，也是课堂教学有魅力的保证．下课前二十来分
钟时，罗伊要求学生写出他们的问题和解答，他在班内巡视，看学生正在做什么，这涉及选取的策略
和所用的理由．课后，他选出某些解答，第二天提供其他学生小组分享．这些选用的解答是对或者错?
哪些解题策略能在类似的情况下优先使用?迅速引起其他学生思考．他从中选出一个想法与众不同的学生向全班介绍．事实上，罗伊倾向于请出不同学生，他认为，如果所请的学生过于集中，有时会引起负面效果．
这是教学决策另一个关键方面：让人人享有平等的机会，让机敏而新颖的见解得以传播，让误解及时得到澄清；让人人学有所得，为后续教学的再投资留下伏笔．
课例3对学生问题的再投资(高二)
在一个国际活动中，来自不同国家的10位代表第一次见面，他们两两握手做自我介绍．试问：(a)在这次见面中有多少次不同的握手?(b)如果代表的人数多于10人，共有多少次握手?对于任意人数赴会，能否找出一种办法计算不同的握手次数?(这问题和我国高中数学选修系列2—3课本第28页例3实质是一样的．)
教师让学生回忆该问题，有学生说很容易，罗伊认为这太好了，因为他想看到学生各种各样的具体的思路，而不仅仅是答案．
第一小组受邀上台，卡拉与克罗蒂亚到讲坛上出示答案，他的答案是=45．对于第二个问题，卡拉解释说：例如，不妨设有20人，必须握手20×19次，再除以2．教师问为什么要除以2？卡拉
回答说：甲乙握手与乙甲握手是一样的，故要除以2．问题似乎已经解决，但教师还希望扩大收获，此
时恰有另一个学生伯纳发问：
为什么10个人得到45次握手，20人得到190握手呢?罗伊发动班里展开讨论，并且问：“你们是
怎样想的?”两个互相矛盾的观点呈现在同学面前．
伯纳：“计算是错误的，因为如同10人的情况，你必须考虑到这样的事实，握手的次数是随着人数的减少而减少的．”
巴卡尔：“对于20人，应该两倍乘以l0人的握手数，因此答案是90而不是190．”
罗伊要求学生考虑5人的情况：“我们应该如何处理?是不是该握手22．5次?”，有学生提出答案应该是握手15次，卡拉提出握手次数不可能是22．5··…·
问题源于组合计数的章节，伯纳的见解含有正确的成分，就是“人数越少，握手次数也少”；然而，他把握手次数)，与人数n的关系误解为正比例关系，而实际不是如此．
教师巧妙的设问以及所使用的反例，正是引导学生走出认知误区的亮点．
有学生指出y=，而伯纳误以为y与n是正比例关系，这正是一种误解．教师及时理解学生进入数学误区的原因，这是本课例取得成功的关键．教师要求学生们判断伯纳的想法是否正
第二组同学指出，握手的次数不可能是22．5，因为握于次数是正整数，第一组所说的二次函数的定义域还应该是离散型的集合(图3)，因为赴会人数n也是正整数．
教师及时作了总结，同学们通过合作学习，把组合问题与二次函数联系起来，义把连续型函数与离散型函数区分开来，我们的学习有了，新的收获．
这可见到教师在教学中各种各样的扮演，在教育的水平上，罗伊把学生的问题抛回给学生分
享，引导他们负责任地提出有效的解答．(在这里我们再次看到他坚持让学生进行说理．)在数学的水
平上，罗伊找出并提供反例，“如果是5人的情况，是否握手22．5次?”刚这个反例，反击“加倍”的策略．这种反例也是对学生引导的策略，这种策略具有教育的意图，因为罗伊的日的是引导学生反思自己的解答，推动并激发学生产生疑问．
五、问题的突发性与应答的机敏性
前面的课例，讨论了教师数学教学的知识有三个基本特点：
(1)它的性质接近于在行动中的知识，一个“见机行事”更甚于实际的知识；
(2)它的情境特点：它与课堂出现的问题，以及解决问题的思路紧密相连；
(3)学生问题的出现具有不可预知性，新课程要求教师能及时跟踪学生的想法，要恰当地引导学生走出误区，教师必须有较高的知识水平与较强的引领能力．
数学教师在他们的教学中所从事的情境，在方法上与数学家大不相同．以上的课例说明了这些差
异．在对问题的探索中(例如计算塔的个数问题)，一个数学家肯定把注意力集中在组合模型，寻找一般的公式，找出所有可能的塔数．在其中要规定各种各样的约束条件(不同的颜色，不同的安排，等等)．教师在实际教学中处理这个问题时，就会从不同的视觉进入．他会联系到学生，联系到学牛各种各样的策略，联系到自然产生的模型，教师会根据这个模型，对问题及其各种解法进行再投资．如同课例2，教师不仅对排列组合模型感兴趣，更对学生自然产生的模型，他们所陈述的道理，这些理由的有效性，以及他们所取得的进步感兴趣．
数学教学知识总是在教与学的线索中得以建立，得到解释．设计教学情境，同时用到了各种各样的知识来源，包括教育的，教学法的，数学的甚至是规定性的．这些维度不足一成不变的．数学思想
方法的渗透是潜移默化的，关键是对学生情况的理解．课堂中的数学情境，总是把求解、探索结合在一起，各种因素综合交织．各种因素不会单独地扮演，它们总是相互影响，相互选择，联袂演出．
在上述教学实践中所需要的知识，即使称之为教师的为教学的数学知识，也永远不是纯数学知识．它是各种知识的交织与组合，是非常特殊的知识．
数学课堂教学，教师的职业活动，建构知识在教学中的切入点，指导着教师在教学中的扮演．
这些知识通过其他活动得以发展和提炼，对学生发挥引领作用．这是近来研究教师教育实践的新线
索，也是教师职业发展的新趋势．教师的感悟在实践中生成，它是动态发展的知识，它既相对独立实践，又在实践中逐步形成其意义．
参考文献
[1]王林全．数学教师职业发展的现状与前景一一来自南方的一组调查与分析[J]．数学教育学报，2009，(4)．
【作者简介】王林全，华南师范大学(510631)．
【原文出处】《中学数学月刊》(苏州)，2011．1．1～4
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