设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。

 

教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。

 

 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

 

教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：

 

 1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。

 

   2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。

 

    3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。

 

学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。

 

教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。

 

教学重点、难点

 

重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。

 

难点：灵活应用二倍角公式变形的态式，熟练解三角综合题。

 

教学过程

 

一、复习启发、设置情景、引出正题

 

 1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式

 

   （学生回答，教师板书）

 

 

2、（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系时，公式变为什么形式？请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。

 

学生板书：

 

 

3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果

 

（学生回答：左边角均为，右边角均为，具有“二倍”关系）

 

4、引入正题

 

    师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美

 

教师板书（放幻灯片）

 

二倍角公式简记为

 

即为我们今天要学习的二倍角公式

 

   【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方法，从而达到“温故知新”的教学目的】

 

二、引导探究、深化认识

 

1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联系

 

2、（探索性提问）对：

 

中的平方联想到，有无其他变式？

 

（学生探索、总结得出两种变式：）

 

3、（深化性提问）：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢？

 

（学生：不能，要注意公式成立的条件）

 

引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件

 

 

指出：尤其注意成立的条件

 

【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】

 

4、（探索性提问）在中，当左边的时，虽然右边的不存在，但左边的存在，能否用求？该怎样求？

 

    引导学生：改用诱导公式：

 

【设计意图：引导学生对特殊情形，另辟蹊径，寻找求解依据，培养学生细致、灵活的探索习惯】

 

5、二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题（放幻灯片）

 

（1）填角

 

 

（2）（填号）

 

一般情况下：

 

【设计意图：通过填空，让学生灵活理解“二倍角”的含义，根据学生易混点，类比公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点”之目的】

 

三、巩固公式，学习应用

 

出示四道例题，学生分组训练，每组一题，做完后组内交流，订正答案，最后教师引导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。————放幻灯片

 

（第一组学生做）例1、不查表,求下列函数值

 

 

【设计意图：通过直接应用公式、间接应用公式、一题多解,巩固二倍角公式】

 

(第二组学生做)例2、已知，求的值。

 

讲评：此题目中对角有范围限制,做题中应注意什么?仅知道值,欲求二倍角正弦、余弦、正切,先需要知道什么?… …在求值时,要灵活应用三种等价形式,并注意在求解过程中要尽量使用已知的原始数据,减少错误的可能性

 

【设计意图：由浅入深,巩固公式,培养学生规范、科学解题的能力,教给学生小结解题经验,做后反思】

 

(第三组学生做)例3、证明

 

讲评：证法1：等价证：

 

          证法2：等价证：

 

          证法3：巧妙应用“1”，即用“”代换，后略。

 

【设计意图：让学生学会等价证明、转化证题及一题多证，以培养学生数学思维的灵活性、散发性及创造性思维，加深巩固二倍角公式和综合应用已学过的技巧证题】

 

(第四组学生做)例4、利用三角公式化简

 

讲评：此题技巧是：先将“切化弦”，然后用已学过的知识和二倍角公式化简

 

【设计意图：复习应用所学知识解简单三角综合问题，培养学生综合解题应用能力】

 

四、提炼总结——放幻灯片

 

（1）在两角和的三角函数公式中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式。说明：后者是前者的特例。

 

（2）中角没有条件限制，而中，只有时才成立。

 

（3）二倍角公式不仅限于是的二倍形式，其他如是的二倍，是的二倍，是的二倍等等都适用，要熟悉这些多形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活应用公式的关键。

 

有三种形式：。要依据条件灵活应用公式，另外逆用此公式时更要注重结构形式。

 

【设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，抓住重点、难点，关键进行课后复习巩固】

 

五、作业布置：

 

必做：教科书P150习题3.1A组14、15

 

【设计意图：培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，插漏补缺】

 

选做：

 

（1）用、表示、（即推导三倍角公式）

 

（2）已知：。

 

【设计意图：对学有余力的学生留出自我发展的空间，尝试能力，拓展创新】

 

设计思路：

 

1、本节公式比较多，首先要搞清楚各公式之间的内在联系，也就是要很好地理解上面的知识结构图，其次理解如何由和角公式推导倍角公式，然后明确倍角的含义，熟练地运用倍角公式进行求值、化简等三角运算及恒等变形。

 

2、在三角式的运算及恒等变形过程中，除了倍角公式外，也离不开前面所学的同角三角函数关系、诱导公式以及和角公式等，它们是一个有机整体。在解题过程中要求学生先分析条件与求解目标之间的差异，选择恰当的公式进行转化沟通，然后明确解题思路，设计解题步骤，完善解答过程，培养逻辑思维能力。

 

3、我们通过一题多解，使我们学会数学思考与推理，训练发散性思维，培养创造新意识，提高数学素养。

 

4、以公式特殊情形化简为切入点以学生探索、推导、应用

 

为主线以学生发展能力为目的

 

板书设计：

 

 

作者简介：

 

     王金城：1999年毕业于福建师范大学，获得“安溪县数学说课比赛高中组三等奖”、

 

     叶志良：2006年毕业于集美大学理学院，获得“2006集美大学优秀毕业生”

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