安东尼、伯纳德和查尔斯三人参加了几项田径比赛。
（1）每项比赛只取前三名，第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。
（2）并列同一名次者，都得到与该名次相应的分数。
（3a）把每人在撑竿跳、跳远和跳高比赛中的得分加起来得到一个个人总分，结果这三人的个人总分都一样。
（3b）把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分，结果三个项目的团体分都一样，而且这个团体分与上述的个人总分相等。
（4）在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。
（5）安东尼和查尔斯在跳远比赛中得分相同。
（6）安东尼和伯纳德在跳高比赛中得分相同。
（7）在这三项比赛中，伯纳德有一项没有得分，查尔斯也有一项没有得分。
在撑竿跳比赛中，安东尼得了第几名？
（提示：找出一个每一行的和与每一列的和都相等的3×3方阵，即可判定出安东尼在撑竿跳比赛中的名次。为此，用代数方法表示安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分，以及安东尼和伯纳德在跳高比赛中的得分。）
答 案
这三人在三项比赛中的得分可以记入如下的3×3方阵：
撑竿跳比赛
跳远比赛
跳高比赛
安东尼
伯纳德
查尔斯
根据（3a）和（3b），这个方阵中每一行的和与每一列的和必须都等于同一个数。根据（2）和（5），设安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分为b。根据（2）和（6），设安东尼和伯纳德在跳高比赛的得分为h。根据（l）和（2），b可以是0、l、2或3，h也可以是0、l、2或3。因此，把b和h组合起来共有十六对可能的数值。如果b＝h（即两者同时是0、1、2或3），则为了满足（3a）和（3b），方阵变成：
a
b
b
b
a
b
b
b
a
这种情况与{（4）在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。}矛盾，因而是不可能的。
如果b＝0而h不等于0（b＝0，h＝1；b＝0，h＝2；b＝0，h＝3），则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。
－
0
h
－
2h+a
h
－
0
a
为了满足{（3b）把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分，结果三个项目的团体分都一样，而且这个团体分与上述的个人总分相等}，第二行的和必须等于每一列的和。但是第二行的和已经大于所示的任何一列的和，因此这种情况是不可能的。如果h＝0而b不等0（b＝l，h＝0；b＝2，h＝0；b＝3，h＝0），则为了满足（3b），第三列的和必须等于第二列的和。
－
b
0
－
a
0
－
b
2b+a
为了满足（3b），第三行的和必须等于每一列的和。但是第三行的和已经大于所示的任何一列的和，因此这种情况是不可能的。
如果b＝l，h＝3，则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。
－
1
3
－
a+4
3
－
1
a
这种情况与{（1）每项比赛只取前三名，第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。}矛盾，因为a不能小于0，从而a＋4至少等于4。（再者，第二行的和已经大于所示的任何一列的和，这与（3b）矛盾。）因此这种情况是不可能的。
如果b＝3，h＝l，则为了满足（3b），第三列的和必须等于第二列的和。
－
3
1
－
a+2
1
a
a
这种情况与前一种类似，所以是不可能的。如果b＝2，h＝3，则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。
－
2
3
－
a+2
3
－
2
a
如果b＝3，h＝2，则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。
－
3
2
－
a
2
－
3
a+2
这种情况与前一种类似，所以是不可能的。
如果b＝1，h＝2，或者b＝2，h＝1（它们是剩下的仅有可能），则为了满足（3a）和（3b），方阵变成下列二者之一：
a+1
1
2
0
a+2
2
3
1
a
a+1
2
1
3
a
1
0
2
a+2
本题的要求是求出a＋l的值（这是上述两个方阵中唯一相同的记录）：a不能大于0，否则与{（7）在这三项比赛中，伯纳德有一项没有得分，查尔斯也有一项没有得分。}矛盾；因此a必须等于0。于是a＋l＝l。
由于1分是第三名的得分，所以安东尼在撑竿跳比赛中得了第三名。
总结起来，得分的情况是下列二者之一：
撑竿跳比赛
跳远比赛
跳高比赛
安东尼
1
1
2
伯纳德
0
2
2
查尔斯
3
1
0
撑竿跳比赛
跳远比赛
跳高比赛
安东尼
1
2
1
伯纳德
3
0
1
查尔斯
0
2
2
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