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高三数学寒假作业
一、选择题(每小题5分，共60分)
1 .设集合
，集合
，
,
,则
的值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2.函数
的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
3.
的值为( )
A.
B.4 C.2 D.
4. 如果复数
的实部与虚部互为相反数，则
( )
A.1. B.2. C.
. D.
5.将
的图象向左平移
个单位得到
的图象，则
等于( )
A.
B.
C.
D.
6. 函数
是( )
A.最小正周期为
的奇函数 B. 最小正周期为
的偶函数
C. 最小正周期为
的奇函数 D. 最小正周期为
的偶函数
7. 在等差数列{
}中，
那么数列的前14项之和等于( )
A. 14 B.28 C. 52 D.156
8. 若双曲线
的离心率是
，则实数
的值是( )
A.
B.
C.
D.
9. 若函数
分别是
上的奇函数、偶函数，且满足
，则有( )
A.
B.
C.
D.
10. 直线
与圆
的位置关系是( )
(A)相交且直线过圆心 (B)相切 (C)相交但直线不过圆心 (D)相离
11. 已知不等式
在
恒成立，则实数a的最小值是( )
A.3 B.2 C.1 D.4
12. 已知球
是棱长为1的正方体
的内切球，
则平面
截球
的截面面积为 ( )
A.
. B.
. C.
. D.
.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.不等式
的解集为 .
14. 若
的值为 .
15.若
对任意实数
，都有
记
则
.
16. 已知函数
，等差数列{
}的公差为2，若
则
三、解答题(共70分)
17、已知函数
.
(Ⅰ)求函数
在区间
上的值域;(Ⅱ)在
中，若
，求
的值.
18、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，
现从中选2人.设
为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且
.
(1)求文娱队的人数;
(2)写出
的概率分布列并计算
.
19、已知斜三棱柱
,
,
,
在底面
上的射影恰为
的中点
,又知
.
(Ⅰ)求证：
平面
;
(Ⅱ)求
到平面
的距离;
(Ⅲ)求二面角
的大小.
20、已知函数
.
(Ⅰ)求函数
的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，证明当
时，
.
21、已知函数
，
(1)求函数
的最小值;(2)若
，求证：
.
22、数列
中，
，
(
是常数，
)，且
成公比不为
的等比数列。
(I)求
的值;
(II)求
的通项公式。
(III)由数列
中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b
}，求
的值。
2012高三数学寒假作业1参考答案
一、选择题
题号123456789101112
答案BDDACABBDDAA
二、填空题
13
14、 0 15、 -1 16、-6
三、解答题
17、解：(Ⅰ)
……2分
∵
∴
，
…………………4分
∴
，即f (x)的值域为[0,3]………5分
(Ⅱ)由
得
，∴
…………6分
∵
，∴
即
…………7分
∵
，∴
…………8分
∴
，得
，
……10分
18、解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7-x)人，那么只会一项的人数是(7-2 x)人. (I)∵
，∴
.即
∴
.∴x=2.故文娱队共有5人.
(II)
的概率分布列为
012
P
，
，∴
=
.
19、解法
：(Ⅰ)∵
平面
,∴平面
平面
,
又
,∴
平面
, 得
,又
,
∴
平面
.…………………4分
(Ⅱ)∵
,四边形
为菱形,故
,
又
为
中点,知∴
.取
中点
,则
平面
,从而面
面
,…………6分
过
作
于
,则
面
,在
中,
,
故
,即
到平面
的距离为
.…………………8分
(Ⅲ)过
作
于
,连
,则
,
从而
为二面角
的平面角,在
中,
,∴
,…………10分
在
中,
,
故二面角
的大小为
. …………………12分
解法
：(Ⅰ)如图,取
的中点
,则
,∵
,∴
,
又
平面
,以
为
轴建立空间坐标系, …………1分
则
,
,
,
,
,
,
,
,由
,知
,
又
,从而
平面
.…………………4分
(Ⅱ)由
,得
.设平面
的法向量
为
,
,
,
,
设
,则
.…………6分
∴点
到平面
的距离
.…………………8分
(Ⅲ)设面
的法向量为
,
,
,
∴
.…………10分
设
,则
,故
,根据法向量的方向
可知二面角
的大小为
.…………………12分
20、(Ⅰ)解：
，令
得
，由
得
，
的单调递减区间是(
);同理，单调递增区间是(
)，
……6分
(Ⅱ)证明：由题意可知
,得
令
,即
，于是
当
时，
，又
,∴
，从而函数
在
上是增函数.
又
，所以当
时,
，即当
时
成立. …………12分
21、解：(1)
=
，………………2分
当
时，
，所以当
时，
，
则函数
在
上单调递增，
所以函数
的最小值
;…………………………5分
(2)由(1)知，当
时，
，
∵
，
∴
，
①……7分
∵
，
∴
②………………………10分
由①②得
…………………………12分
22、解：(I)
，
，
，因为
，
，
成等比数列，
所以
，解得
或
.
当
时，
，不符合题意舍去，故
.……4分
(II)当
时，由于
，
，……
，所以
。
又
，
，故
.当n=1时，上式也成立，
所以
……8分
(III)bn=32n-2-3n-1+2, ∴
=9. ……12分
9解：因为
，用
替换x得：
因为函数
分别是
上的奇函数、偶函数，所以
，又
解得：
，而
单调递增且
，∴
大于等于0，而
，故选
。
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