三、解答题

11.已知为圆上任意一点，点的坐标为(-2，3).

⑴求的最大值和最小值；

⑵若P()在圆上，求线段的长及直线的斜率.

考查目的：考查圆的方程的互化，直线的斜率，点和圆、直线和圆的位置关系及其运用.

答案：⑴，；⑵，.

解析：⑴圆的方程可化为，∴圆心的坐标为(2，7)，半径，∴，∴，.

⑵∵点P()在圆上，∴，解得，∴点P的坐标为(4，5)，∴，.

 

 

12.设圆上的点A(2，3)关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，求圆的方程.

考查目的：考查圆的方程及其性质，直线与圆的位置关系.

答案：圆的方程为或.

解析：设圆的方程为.∵圆上的点A(2，3)关于直线的对称点仍在圆上，∴圆心在上，∴①.

∵圆被直线截得的弦长为，∴②.

由点A(2，3)在圆上，得③.

联立①②③，解得或

∴圆的方程为或.

 

 

13.已知圆C：内有一点P(2，2)，过点P作直线交圆C于A、B两点.

⑴当直线经过圆心C时，求直线的方程；

⑵当弦AB被点P平分时，写出直线的方程；

⑶当直线的倾斜角为时，求弦AB的长.

考查目的：考查直线与圆的位置关系，以及直线方程的求法.

答案：⑴；⑵；⑶.

解析：⑴已知圆C：的圆心为C(1，0).∵直线经过点P、C，∴直线的斜率为2，直线的方程为，即.

⑵当弦AB被点P平分时，直线⊥PC，∴直线的方程为，即.

⑶当直线的倾斜角为时，斜率为1，直线的方程为，即.又∵圆心C(1，0)到直线：的距离为，圆C的半径为3，∴弦AB的长为.

 

 

14.已知圆P：与以原点为圆心的圆Q关于直线对称.

⑴求的值；

⑵若两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数.

考查目的：考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系及其综合应用.

答案：⑴；⑵.

解析：⑴圆P：的方程可写成.

∵圆P：和以原点为圆心的圆Q关于直线对称，

∴直线是以两圆圆心P、Q为端点的线段的垂直平分线，

∴，解得.

∵点(0，0)与(-4，2)的中点(-2，1)在直线上，∴，解得.

⑵圆心P(-4，2)到的距离为，

又∵圆P的半径为，∴，由得.

 

 

15.(2008江苏)设平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：

⑴求实数的取值范围；

⑵求圆C的方程；

⑶问圆C是否经过某定点(其坐标与无关)？请证明你的结论.

考查目的：考查二次函数图像和性质、圆的方程的求法.

答案：⑴且；⑵；⑶圆C必过定点(0，1)，(-2，1).

解析：⑴∵圆C经过二次函数图象与坐标轴的三个交点，∴.令，得抛物线与轴的交点是(0，).令，得，此时，解得.∴实数的取值范围是且.

⑵设所求圆的一般方程为.令，得，这与是同一个方程，∴，.令，得，此方程有一个根为，代入得.∴圆C的方程为.

⑶圆C过定点，证明如下：假设圆C经过定点.将该点坐标代入圆C的方程，并变形得①.①式对所有满足且的实数都成立，必须且，解得或.经检验知，点(0，1)，(-2，1)均在圆C上，∴圆C经过定点.

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