一、教学内容与内容解析

 

1．内容：“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容：理科选修2-1的2.1.1的内容,主要包括（1）曲线的方程与方程的曲线概念；（2）求曲线的方程的一般方法(步骤)；（3）坐标法的基本思想与研究的基本问题.

 

2．内容解析：

 

在平面直角坐标系建立以后，点坐标(有序实数对)；平面曲线(点的集合或轨迹)二元方程.因此, 曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线则是曲线的方程的一种几何表示。曲线和方程的这种相互表示，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一结合。曲线与方程的相互转化，丰富了研究几何问题数学方法，产生一门新数学学科---解析几何，其方法论的意义影响深远，更便于人们在数字化时代，用计算机工具研究处理几何问题。

 

研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系（方程），并通过代数运算处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质以及研究他们之间的相互关系，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，通过这一部分内容学习，可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．

 

“曲线和方程”是解析几何中最基本（奠基）内容，是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础。不但为学习椭圆、双曲线、抛物线内容做准备，而且为学习研究其他曲线提供了理论和方法的准备．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.

 

本节中的“曲线与方程”的概念，它是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的思想方法提升、深化，是研究问题“由特殊到一般，再到特殊”整个过程的一个阶段。它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数关系）间的一一对应关系，并根据曲线与方程的对应关系，介绍了求解曲线方程的一般方法，并要求学生能通过方程来处理一些简单的几何问题，从而达到培养学生“初步通过研究方程来研究曲线的几何性质”目的。“数形结合思想”在本章中得到了充分体现，贯穿于研究圆锥曲线的全过程，

 

二、教学目标与目标解析

 

1．目标：

 

（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；

 

（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定几何特征的曲线的方程；

 

（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.

 

（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想及简单应用．

 

2．目标解析：

 

教学目标（1）和（2）是本节课的教学重点，教学时落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.

 

在学生通过函数y =f(x)及其图象、直线与方程、圆与方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线这些概念初步认识的基础上，现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.

 

教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．

 

对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立适当的坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，以便实现教学目标（4）．

 

三、教学问题诊断分析

 

1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题. 这个问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．

 

2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是本节课的教学难点之一．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．

 

3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因而宜使用信息技术工具通过对比表示验证方法解决这个问题.

 

4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.

 

四、教学支持条件

 

1．在进行本节课的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数y =f(x)及其图象，在数学必修2中学习了直线与方程、圆与方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要基础，因此教学时应充分利用这一教学以备条件，引导学生多进行归纳与概括.

 

2．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，《几何画板》是重要的支持条件，教学中应充分利用这一工具，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据形象地进行演示分析.

 

五、教学过程设计

 

[问题1]请同学们阅读P34的内容，对每个实例用简练的两句话进行概括总结，（1）第一、三象限角平分线和二元方程x=y（或x-y=0）之间有什么对应关系？（2）圆和二元方程之间有什么对应关系？

 

在坐标系中，

 

（1）        第一、三象限角平分线上任一点的坐标都是二元方程x-y=0的解；

 

 （1’）  圆上任一点的坐标都是二元方程的解；

 

（2）        以二元方程x-y=0的（任一）解为坐标的点都在第一、三象限角平分线上。

 

(2’) 以二元方程的（任一）解为坐标的点都在圆上。

 

意图：从学生熟悉的曲线与方程的特例出发，为引出曲线的方程与方程的曲线的概念做铺垫.

 

师生活动：让学生尝试直线与方程、圆与方程中，“曲线上的点与二元方程（实）解之间的对应关系”的要求；教师向“一般曲线上的点与一般二元方程（实）解之间的对应关系” 的要求上进行引领，为介绍曲线的方程与方程的曲线的概念再做准备.

 

[问题2] 在坐标系中，对一般的曲线与二元方程，你能给出曲线的方程和方程的曲线的概念吗？

 

意图：给出曲线的方程与方程的曲线的概念.

 

师生活动：让学生先概括表达，然后教师引领学生阅读教材上的“定义”，给出曲线的方程和方程的曲线的概念.最后形象化给出：

 

 

[问题3]试谈一谈，我们对“方程f(x,y)=0是曲线的方程”、 “曲线C是方程f(x,y)=0的曲线” 的概念掌握，应把握哪些方面呢？

 

意图：加深对曲线的方程与方程的曲线的概念中关键方面的理解.

 

师生活动：学生回答，教师评析并给出：

 

㈠曲线的方程与方程的曲线的概念中的条件（1）、（2）缺一不可，相互独立，并构成一个完整一个整体；【练】学生完成教材P37练习第1题，并将题中的“中线AO（O为原点）所在直线的方程”修改为“中线AO（O为原点）的方程”后，提问学生结论有无改变？

 

㈡若“方程f(x,y)=0是曲线的方程”或 “曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”前提下，点M在曲线C上其坐标是方程的解；【练】学生完成P37练习第2题．

 

㈢曲线的方程的化简过程一定要同解变形，否则，不满足概念中的条件（1）、（2）。即打破“点与解间的一一对应关系”；

 

㈣本概念是在“建立坐标系”这一平台作出的，所以“建系”不同，所求的方程形式不同。

 

 [问题4] 请画出函数的图象，图象（曲线）C上的点相应于坐标轴的距离满足什么关系等式（方程）？是否满足这个关系等式（方程）的点都在图象（曲线）C上？

 

意图：理解用解析式表示的函数（方程）与其图象（曲线）之间的关系，巩固曲线的方程与方程的曲线的概念.

 

师生活动：（1）师生画出函数的图象C；（2）学生思考“图象C上的点相应于坐标轴的距离满足什么关系等式是“图象C上的点到两坐标轴的距离的乘积是常数k”；（3）学生思考“到两坐标轴的距离的乘积是常数的点都在图象C上”吗？；（4）师生得出“到两坐标轴的距离的乘积是常数k的点的轨迹方程是”；（5）证明所得结论，完成教材P35例1．

 

[问题5] 阅读教材P35“2．1．2求曲线的方程”的第一段内容，你能概括出解析几何研究的问题以及研究几何问题的思想方法（或具体方法）吗？

 

意图：明确解析几何研究的基本内容.

 

师生活动：学生阅读教材并提炼回答内容，请学生回答，教师点评总结：“研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系（方程），并通过代数运算处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质以及研究他们之间的相互关系，并达到利用曲线为人们服务的目的”．并指出在这个过程中体现了解析几何研究的两个问题以及“数形结合”的思想方法（具体的方法为“坐标法”）。

 

[问题6] 请学生们阅读例2, 并对照例2的解题步骤,你们能写出求曲线方程的一般步骤吗？（略微提及例2的其他解法）

 

意图：归纳求曲线的方程的步骤，体会坐标法的基本思想．

 

师生活动：根据上述过程让学生试总结求曲线的方程的步骤（见教材P36），特别要强调步骤5，并对步骤2、步骤5在解题中如何进行量力处理.

 

 [问题7] 已知一条直线和一个点F，点F到l的距离是2．一条曲线上面的点到F的距离减去到l的距离所得的差都是2．你能建立适当的坐标系，求出这条曲线的方程吗？

 

意图：帮助学生熟悉和巩固求曲线的方程的步骤.进一步巩固强调步骤5在解题中如何进行量力处理.

 

师生活动：（1）师生讨论如何建立坐标系；

 

（2）让学生按步骤求出曲线的方程；

 

（3）师生讨论如何添加所求曲线方程的附加约束条件（①在设任一点坐标时，依几何条件加以对坐标约束；②方程化简过程是否为同解变形，在哪一步不是同解变形？③用问题中几何特征与所求方程曲线进行比较检验）．

 

（4）【问】：有无其它建立坐标系的方法，求点A的轨迹方程？所求得的方程与上面“点A的轨迹方程”相同吗？教师归纳总结建立坐标系的一般要点，并指出“建系”不同，所得方程不同，“建系”适当与否，影响所求方程（形式）的简易．【练】：教材P37练习第3题．

 

[问题8]建立坐标系后，是否一条曲线方程唯一？你们对“坐标法”解决几何问题有何体会？请归纳一下本节课所学内容？

 

意图：归纳总结本节内容,突出重点知识和基本方法.

 

师生活动：学生思考交流，师生共同总结.

 

五、目标检测设计

 

1．教材P37，习题2.1：A组第2、3、4题；B组第1、2题．

 

2．已知曲线的方程为，并且曲线经过点，两点，

 

    （1）求曲线的方程；

 

（2）若在的正半轴上存在一点，过点的直线交曲线，于，两点，求的中点的轨迹方程.

 

作者简介：王志军 1968年12月22日生，河北省邢台市人，1989年6月28日毕业于苏州铁道师范学院数学系，2001年6月29日获北京师范大学硕士学位。现在山西省百年重点名校太原五中担任高中数学和数学竞赛教学工作，中学数学高级教师，中国数学奥林匹克高级教练，山西省数学会资深教练。山西省太原市十大文明形象大使，山西省太原市教育系统优秀党员，优秀班主任。自2001年至今，所带学生获全国高中数学奥林匹克国家级金牌2枚，银牌3枚，铜牌4枚，由数学单科竞赛成绩被保送或加10～30分录取进入清华、北大学习的学生有31人，有58人获全国高中联赛山西省一等奖。所带理科实验班和普通班的数学高考成绩取得令人注目的优异成绩。主编的《高中数学问题误解诊疗》大全第二卷由山西教育出版社出版，参编的《高中数学知识精讲与能力训练》分册（高三）由光明日报出版社出版，《高中数学导学》（高三）由中央民族大学出版社出版，《2011年山西省高考数学应试一点通》由山西经济出版社出版。在国家级、省（部）级学术期刊上发表论文《高中生在数学课堂教学中思维参与的研究》、《异面直线间定长连线段中点轨迹问题》、《以教导学  以学促教》、《就如何学好高中数学答学生及家长问》、《有关函数 、、、间定义域互求的几点商榷》、《学习高中数学应注意的问题》、《高中数学教材（试验修订本）中平移内容的新讲与新编》9篇；在国家级、省（部）级教育教学报刊上发表教育性文章《我的师生观》、《对评课的再认识》、《漫谈请家教（上、下）》等7篇；发表的文学作品有《为师的“苦涩”》、《为师之悔》、《梦中情人》等。

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