一. 教学内容：数系的扩充与复数的概念

二. 目标

掌握复数的概念、复数的表示及其几何意义，复数的模

三. 考点分析

1. 复数及分类

形如 。

2. 复数相等的充要条件

。

3. 数集间的联系：

4. 复数集C与复平面上的点集和以原点为起点的向量集是一一对应的，见图。

注：

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） 。

6. i的幂

与 互为共轭复数，且 ，

8. 的性质

记 ，则 ， 。

【典型例题】

例1. 当m为何实数时，复数解：（1）z为实数，则虚部即

解得m=2

∴ m=2时，z为实数

（2）z为虚数，则虚部即

解得 且

∴当 时，Z为虚数

（3）z为纯虚数

解得∴ 当

例2. 求同时满足下列条件的所有复数z：

（1）解：设

是实数，且

∴ 或 *

当b=0时，*化为 时，*化为 ∴

∴ 相应的 （舍），

因此，复数z为：

例3. 已知复数z满足解：设 ①

∵

依题意得

由③得

（1）当 但 与②矛盾

∴ 时，由①得 ，求解：

， 。

，满足

（1）若 。

（2）若 ，求 的取值范围。

是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，

可设 ，则<7" >

由 得

即：

∵ 或

∴ ，

∴

由于 且 ，可解得 ，

令 ，

在

【模拟】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1. “ ”是“ B. D. 的结果为（ ）

A.

4. 若 ，则z对应的点的轨迹是（ ）

A. 圆 B. 两点 C. 线段 D. 直线

5. 复数 ，且 的最小值是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7. 计算： _________

8. 若 ，则 ＝ 。

9. ，且 ____________

三、解答题（本大题共4题，共50分）

11. 在复数范围内解方程 ，且 为纯虚数，求z。

13. 若复数z满足 ，求 的最大、最小值。

14. 若复数z满足 ，求证：

【试题答案

1. A

提示：若 为共轭复数，则 ，但若 ， ，但 与 不能互为共轭复数，因此应选A。

2. C

提示：由

或

这里用到了 的周期性结论。

4. A

提示：设

即 （由

提示：注意利用 简化运算

8.

提示：设

则有 联立得

即

11. 解析 原方程化简为 ），代入上述方程得 解得

∴原方程的解是

，则

化简，得 表示点 到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上

由平面几何，可知z的最大值为

解法二：利用复数的模的性质

解这个关于 的不等式，得

当 代入

得

当 时， 取最大值 时， 取最小值

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