勾股定理在高中有一个口诀叫“勾三股四弦五”。什么意思呢?也就是说勾股定理的学习按着3:4:5这个比例计算的。勾指的是直角三角形直角边中短的那条，股市直角边稍微长的那条，弦就不说了，那就是斜边了。这个定义具体该怎么用呢?

一、经典证明方法细讲

方法一：

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180°?90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2

方法二

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB = ∠CFD = 90°，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

∵∠ABC= 90°,

∴G,B,I,J在同一直线上，

所以a^2+b^2=c^2

二、勾股数的相关介绍

①观察3，4，5;5，12，13;7，24，25;…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1)，0.5(9+1)与0.5(25-1)，0.5(25+1)，并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5;6，8，10;8，15，17;…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 　　]在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

三、勾股定理的命题方向

命题1：以已知线段为边，求作一等边三角形。

命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。

命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。

命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

命题5：等腰三角形两底角相等。

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