数学概括及其在数学学习中的作用

一、数学概括

数学概括是一种特殊的概括，这是由数学学科的特点所决定的。数学概括是在数学符号、数量和空间关系、数学对象和运算等方面的概括。它具有以下显著的特点：

1．数学研究对象本身已是概括的产物我们知道，数学的研究对象是客观世界的数量关系和空间形式。它取自于客观世界，但却不是现实中的真正原型，而是从现实世界中概括出来的数学模型－－事物中的纯数量关系和空间形式。例如自然数、点、线、面等原始概念，就是从现实世界中概括出来的。

2．数学概括具有层次性

数学概括是在概括基础上所进行的再概括，数学是从原始概念开始，在此基础上进行新的抽象，从而得到概括程度更高的新概念。在数学中往往要进行一系列地、逐级地概括，由此可得到概括水平越来越高的概念、法则和方法。这恰是数学在抽象思维方面具有相对封闭性的原因所在。正如德国数学家汉克尔的生动描述：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏，唯独数学，每一代人都在这古老的大厦上添加一层楼。”这表明数学的发展表现为明显的概括性质：它的每一次发展都把原来的数学作为某种特例包含在新的数学中去。例如数系的扩张；中学里对三角函数的概括；从数列极限到函数极限的概括。从定理内容上也可体会出数学概括的层次性，例如数学归纳法定理。

3．数学概括用数学语言来表述

数学概括的表述使用了特殊的语言体系－－特定的符号体系－－数学语言体系。而且这种表述形式贯穿于数学概括过程的始终。我们知道，语言是思维的载体。自然语言虽然可在一定程度上来表达数学，但却不能达到完美精确的程度，因此数学工作者在自然语言的基础上创造出了数学语言－－数学中特有的形式化符号体系。它是人类自然语言的进一步概括。有了数学语言，数学研究的思维过程和结果就可精确简练地表出。

二、数学概括在数学学习中的作用

学生的数学学习，主要表现为数学知识、数学能力和数学思维活动的学习。

而所有这些学习都是以数学概括为基础，都离不开数学概括能力的支持与辅佐。

在此仅以数学能力的学习为例。中学数学教学大纲明确指出：“通过数学教学，要培养学生具有正确迅速的运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，从而逐步培养运用数学分析和解决实际问题的能力。”

在运算能力方面，欲达“正确迅速”目的，就需在各类运算中概括出相应的运算规律，将其归纳为一般形式。

数学概括在培养学生逻辑思维能力方面的作用也十分重要。逻辑思维是人类揭示客观世界的本质和规律的极其重要的思维活动，它几乎渗透到人类获取所有理论和新认识的每一过程，而数学则是体现逻辑最彻底的一门学科。学生在学习中遵循着数学的逻辑规律，他们从最基储最简单的数学概念出发，在这些基本概念的基础上进行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，仅研究0°－360°间角的三角函数，到了高中，通过角概念的推广和弧度制的引入，概括出任意角三角函数，并从集合和映射的观点出发加以研究。即在数学思想方法上也采用了概括性更强的更一般的方法－－集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，学生逻辑思维能力的形成和发展离不开数学概括，数学概括不仅影响着学生逻辑思维的形成和发展，而且决定着学生逻辑思维的水平和质量，概括水平越高，其逻辑思维的能力就越强。

数学概括在培养和形成学生的空间想象能力大小更是不可或缺。因为空间想象能力的形成不仅需要按部就班的逻辑推理过程，而且需要有猜想、想象、直觉等灵感思维的帮助，而直觉思维更离不开数学概括的支持，尽管它有时表现的并不那么直接，但却是头脑所积累的数学概括水平的综合运用，需要具备更高的数学概括能力。因为在三维立体空间（现实空间）或更高维的空间（非现实空间）中考察数学问题时，它与空间的相关性增强了许多，它的位置关系，空间形式和数量关系都有了更丰富的内涵（与二维相比），这势必要求在数学概括上应具有更高的水平。例如，在平面内，对一个直角三角形的研究仅限于边、角关系的讨论，但在立体空间，除此以外（这种关系已经缩小到在同一平面讨论问题的范围）还存在着它与空间平面、空间直线的各种位置关系、空间形式及数量关系等。比如立体几何中的三垂线定理和逆定理，说的就是直角三角形的斜边与平面直线的位置关系，这种关系的寻找与确定就需要更广泛的数学概括。

空间想象能力还表现在对现实空间中几何物体的数学发现上。例如人们对蜂房的数学发现乃至物理发现：蜂房底部菱形的锐角是70°，这个尺寸经推算知，在体积一定的条件下它可使蜂房的表面积为最小，即用料（蜂蜡）最省，不仅如此，蜂房的特殊形：侧面是六棱柱，底由三全等菱形组成的倒角锥面，其物理性能也十分的好，它抗压、防震、轻巧而坚固，所有这些结果都是将其概括为数学问题所取得的。

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