2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?
3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 ?
重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 ?
教学方法：启发引导式?
1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?
2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：
证：左边=
= =0=右边
例2 在△ABC中，已知 ， ，B=45? 求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45?<90? 即b当A=60?时C=75?
当A=120?时C=15?
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之： 当 时
从而A=60? ，C=75? 当 时同理可求得：A=120? ，C=15?
例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程 的两个根，且
2cos(A+B)=1 求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=? ∴C=120?
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC2?2AC?BC?osC
即AB=
（3）S△ABC=
例4 如图，在四边形ABCD中，已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得： 解之： （舍去）
由余弦定理： ∴
例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1?求最大角 ;
2?求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1?设三边 且
∵C为钝角 ∴ 解得
∵ ∴ 或3 但 时不能构成三角形应舍去
当 时
2?设夹C角的两边为
S 当 时S最大=
例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程 而正弦定理涉及到两个角，故不可用 此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用 因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为 ，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 ?
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝ ，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC ?
∴
解得，ｘ＝2?, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型 ?
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得 ，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1 半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积 ?
解：设△ABC三边为a，b，c 则Ｓ△ABC＝
∴
又 ，其中R为三角形外接圆半径
∴ , ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1 ?
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝ 发生联系，对abc进行整体求解
2 在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB ?
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中， ∴AB＝
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3 在△ABC中，已知cosA＝ ，sinB＝ ，求cosC的值 ?
解：∵cosA＝ ＜ ＝cos45°，0＜A＜π ∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝
∵sinB＝ ＜ ＝sin30°，0＜B＜π ∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符 ∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA?cosB－sinA?sinB＝
又C＝180°－（A＋B） ?
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较 ?
四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业：
课后记： 1 正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，举例:
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝ sinAsinC，求B的度数
解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，?
∴－2sinAsinCcosB＝ sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ?∴cosΒ＝－ ∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，令B＝10°，C＝50°，则A＝120°
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（ ）2＝
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状 ?
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A， ∴sin2C＝sin2B?∴B＝C故△ABC是等腰三角形 ?
2 一题多证:［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形 ?
证法一：欲证△ABC为等腰三角形 可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数 由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝ ，即2cosC?sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0 即sin（B－C）＝0，?∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B、C是三角形的内角，?∴B＝C，即三角形为等腰三角形 ?
证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC?∴2bcosC＝bcosC＋ccosB?∴bcosC＝ccosB，即
又∵ ∴ 即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，?∴B＝C?∴△ABC为等腰三角形 ?
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