§2.4.2 抛物线及其几何性质(2)

一、知识要点
1.了解抛物线过焦点弦的简单性质；
2.在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。
二、典型例题
例1.⑴设 是抛物线 上一点， 为焦点，求 的长；
⑵已知 是过抛物线 的焦点 的直线与抛物线的两个交点，求证： 。

例2.已知定点 ，抛物线 上的动点 到焦点的距离为 ，求 的最小值，并确定取最小值时 点的坐标。

例3.设过抛物线 的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为 ，求证： 。

例4.已知直线 为抛物线 相交于点 ，求证： 。

三、巩固练习
1.已知动圆 的圆心在抛物线 上，且与抛物线的准线相切，求证：圆 必经过定点，并求出这个定点。

2.若直线 过抛物线 的焦点，与抛物线交于 两点，且线段 中点的横坐标是2，求线段 的长。

3.已知抛物线的焦点在 轴上，点 是抛物线上的一点， 到焦点的距离是5，求 的值及抛物线的标准方程、准线方程。

四、小结

五、后作业
1.焦点为 的抛物线的标准方程是 ；
2.顶点在原点，焦点在 轴上的抛物线上有一点 到焦点的距离为5，则 = ；
3.已知抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是 ；
4.已知抛物线 的弦 垂直于 轴，若 ，则焦点到直线 的距离为 ；
5.斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交于 ，求线段 的长。

6.已知 是抛物线 上三点，且它们到焦点 的距离 成等差数列，求证： 。

7.直角三角形 的三个顶点都在抛物线 上，其中直角顶点 为原点， 所在直线的方程为 ， 的面积为 ，求该抛物线的方程。

8. 是抛物线 上两点，且满足 ，其中 为抛物线顶点，
求证：⑴ 两点的纵坐标乘积为定值；⑵直线 恒过一定点。

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