2018年湖北省鄂州市五校中考数学一模试卷
　
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）4的平方根是（　　）
A．2 B．?2 C．±2 D．±
2．（3分）李阳同学在“百度”搜索引擎中输入“魅力襄阳”，能搜索到与之相关的结果个数约为236 000，这 个数用科学记数法表示为（　　）
A．2.36×103 B．236×103 C．2.36×105 D．2.36×106
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3?a=a2 B．（?2a）2=4a2 C．x3•x?2=x?6 D．x6÷x2=x 3
4．（3分）下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（　　）
A．  B．  C．  D．
5．（3分）若关于x的不等式组 有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4
6．（3分）如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C=90°，∠1=36°，则∠2的度数是（　　）
 
A．54° B．44° C．36 ° D．64°
7．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）
 
A．  B．  C．  D．
8．（3分）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；② ；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN= PC．其中正确的个数是（　　）
 
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c，它与x轴的两个交点分别为（?1，0），（3，0）．对于下列命题：①b?2a=0；②abc＞0；③a?2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．（3分）如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（　　）
 
A．3 B．6 C．  D．
　
二、填空题：（每小题3分）
11．（3分）分解因式：4x3?4x2y+xy2=　   　．
12．（3分）已知y= ，则xy的值为　   　．
13．（3分）某组数据按从小到大的顺序如下：2、4、8、x、10、14，已知这组数据的中位数是9，则这组数据的众数是　   　．
14．（3分）如图，AB是⊙O直径，CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于F，∠A=60°，AB=4，求阴影部分面积　   　．
 
15．（3分）如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y= 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列五个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；   ②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；④AC=BD；   ⑤tan∠BAO=a
其中正确的结论是　   　．（把你认为正确结论的序号都填上）
 
16．（3分）抛物线C1：y=x2?1（?1≤x≤1）与x轴交于A、B两点，抛物线C2与抛物线C1关于点A中心对称，抛物线C3与抛物线C1关于点B中心对称．若直线y=?x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点，则b的取值或取值范围是　   　．
　
三、解答题：
17．（8分）先化简，后求值：（ ? ）÷ ，其中x满足x2?x?2=0．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于F．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．
 
19．（8分）我校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别 正确数字x 人数
A 0≤x＜8 10
B 8≤x＜16 15
C 16≤x＜24 25
D 24≤x＜32 m
E 32≤x＜40 n
根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中，m=　   　，n=　   　，并补全条形统计图．
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是　   　．
（3）有三位评委老师，每位老师在E组学生完成学校比赛后，出示“通过”或“淘汰”或“待定”的评定结果．学校规定：每位学生至少获得两位评委老师的“通过”才能代表学校参加鄂州市“汉字听写”比赛，请用树形图求出E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率．
 
20．（8分）已知关于x的二次函数y=x2?（2m+3）x+m2+2?
（1）若二次函数y的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
21．（9分）在一次数学活动课上，老师带领学生测量一条南北流向的河的宽度，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行10米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（精确到1米，参考数值：tan31°≈ ，sin31°≈ ）
 
22．（9分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=9，tan∠CDA= ，求BE的长．
 
23．（10分）某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤ 100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均 收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．
（1）求出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队总人数的增加而增加，求m的取值范围．
24．（12分）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．
 
（1）求C′点的坐标；
（2）求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
（4）在（3）的条件下，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
　
 

2018年湖北省鄂州市五校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）4的平方根是（　　）
A．2 B．?2 C．±2 D．±
【解答】解：4的平方根是±2．
故选：C．
　
2．（3分）李阳同学在“百度”搜索引擎中输入“魅力襄阳”，能搜索到与之相关的结果个数约为236 000，这个数用科学记数法表示为（　　）
A．2.36×103 B．236×103 C．2.36×105 D．2.36×106
【解答】解：236 000=2.36×105，
故选：C．
　
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3?a=a2 B．（?2a）2=4a2 C．x3•x?2=x?6 D．x6÷x2=x3
【解答】解：A、a3?a≠a2，故本选项错误；
B、（?2a）2=4a2，故本选项正确；
C、x3•x?2=x3?2=x，故本选项错误；
D、x6÷x2=x4，故本选项错误．
故选：B．
　
4．（3分）下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆；
B、圆锥主视图是三角形，俯视图是圆；
C、正方体的主视图与俯视图都是正方形；
D、三棱柱的主视图是矩形与俯视图都是三角形；
故选：C．
　
5．（3分）若关于x的不等式组 有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4
【解答】解：解不等式2x＞3x?3，得：x＜3，
解不等式3x?a＞5，得：x＞ ，
∵不 等式组有实数解，
∴ ＜3，
解得：a＜4，
故选：A．
　
6．（3分）如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C=90°，∠1=36°，则∠2的度数是（　　）
 
A．54° B．44° C．36° D．64°
【解答】解：过点C作CF∥a，
∵∠1=36°，
∴∠1=∠ACF=36°．
∵∠C=90°，
∴∠BCF=90°?36°=54°．
∵直线a∥b，
∴CF∥b，
∴∠2=∠BCF=54°．
故选：A．
 
　
7．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【解答】解：根据题意BE=CF=t，CE=8?t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，
∵在△OBE和△OCF中
 ，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE=S△OCF，
∴S四边形OE CF=S△OBC= ×82=16，
∴S=S四边形OECF?S△CEF=16? （8?t）•t= t2?4t+16= （t?4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选：B．
　
8．（3分）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；② ；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN= PC．其中正确的个数是（　　）
 
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM= BC，PN= BC，
∴PM=PN，正确；

②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴ ，正确；

③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM?180°?60°?30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；

④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN= PB= PC，正确．
故选：D．
 
　
9．（3分）已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c，它与x轴的两个交点分别为（?1，0），（3，0）．对于下列命题： ①b?2a=0；②abc＞0；③a?2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解答】解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a＞0．抛物线与y交与负半轴，则c＜0，
对称轴：x=? ＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（?1，0），（3，0），
∴对称轴是x=1，
∴? =1，
∴b+2a=0，
故①错误；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②正确；
③∵a?b+ c=0，
∴c=b?a，
∴a?2b+4c=a?2b+4（b?a）=2b?3a，
又由①得b=?2a，
∴a?2b+4c=?7a＜0，
故③正确；
④根据图示知，当x=4时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b=?2a，
∴8a+c＞0；
故④正确；
综上所述，正确的结论是：②③④共3个，
故选：A．
　
10．（3分）如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（　　）
 
A．3 B．6 C．  D．
【解答】解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，
连接OM，PD，可得F为ED的中点，
∵∠BAC=60°，AE=AD，
∴△AED为等边三角形，
∴AF为角平分线，即∠FAD=30°，
在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，
∴OA=2，
∴PD=PA=AO+OP=3，
在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，
∴PF= ，
根据勾股定理得：FD= = ，
则DE=2FD=3 ．
故选：D．
 
　
二、填空题：（每小题3分）
11．（3分）分解因式：4x3?4x2y+xy2=　x（2x?y）2　．
【解答】解：4x3?4x2y+xy2
=x（4x2?4xy+y2）
=x（2x?y）2．
故答案为：x（2x?y）2．
　
12．（3分）已知y= ，则xy的值为　 　．
【解答】根据题意得： ，
解得：x=3，则y=?2，
故xy=3?2= ．
故答案是： ．
　
13．（3分）某组数据按从小到大的顺序如下：2、4、8、x、10、14，已知这组数据的中位数是9，则这组数据的众数是　10　．
【解答】解：由题意得，（8+x）÷2=9，
解得：x=10，
则这组数据中出现次数最多的是10，故众数为10．
故答案为：10．
　
14．（3分）如图，AB是⊙O直径，CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于F，∠A=60°，AB=4，求阴影部分面积　3 ? π　．
 
【解答】解：设AD交⊙O于F，
连接OE、OF、BF，如图，
 
∵AB为⊙O直径，AB=4，
∴OE= AB=2，∠AFB=90°，
∵∠A=60°，
∴AF= AB=2，BF= AF=2 ，
∵根据圆周角定理得：∠BOF=2∠A=120°，
∴∠AOF=180°?120°=60°，
∵CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD，
∴∠C=∠OED=∠D=90°，
∴OE∥BC∥AD，
∵O为AB中点，
∴CE=ED，
∴BC+AD=2OE=AB=4，
∴阴影部分的面积S=S梯形BCDF?（S扇形AOF?S△BOF）
= （BC+AD）×BF? + ×2 ×1
= ×4×2 ? π?
=3 ? π，
故答案为：3 ? π．
　
15．（3分）如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y= 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列五个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；   ②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；④AC=BD；   ⑤tan∠BAO=a
其中正确的结论是　①②④⑤　．（把你认为正确结论的序号都填上）
 
【解答】解：①设D（x， ），则F（x，0），
由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是： × ×x= k，
设C（a， ），则E（0， ），
由图象可知：a＞0， ＜0，
△CEF的面积是： ×|a|×|  |= |k|，
∴△CEF的面积=△DEF的面积，
故①正确；
②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
∴EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正确；
③BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BE=DF，而只有当a=1时，才有CE=BE，
即CE不一定等于DF，故△DCE≌△CDF不一定成立；
故③错误；
④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正确；
⑤由一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，
易得A（? ，0），B（0，b），
则OA= ，OB=b，
∴tan∠BAO= =a，
故⑤正确．
正确的有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
 
　
16．（3分）抛物线C1：y=x2?1（?1≤x≤1）与x轴交于A、B两点，抛物线C2与抛物线C1关于点A中心对称，抛物线C3与抛物线C1关于点B中心对称．若直线y=?x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点，则b的取值或取值范围是　b=? 或? 或3≤b＜ 　．
【解答】解：抛物线C1：y=x2?1（?1≤x≤1），顶点E（0，?1），
当y=0时，x=±1，
∴A（?1，0），B（1，0），
当抛物线C2与抛物线C1关于点A中心对称，
∴顶点E关于点A的对称点E′（?2，1），
∴抛物线C2的解析式为：y=?（x+2）2+1=?x2?4x?3，
当抛物线C3与抛物线C1关于点B中心对称，
∴顶点E关于点B的对称点E′′（2，1），
∴抛物线C3的解析式为：y=?（x?2）2+1=?x2+4x?3，
①当y=?x+b过D（3，0）时，b=3，
当y=?x+b与C3相切时，即与C3有一个公共点，
则 ，
?x2+4x?3=?x+b，
x2?5x+b+3=0，
△=25?4（b+3）=0，
b= ，
∴当3≤b＜ 时，直线y=?x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点，
②当y=?x+b与C1相切时，即与C1有一个公共点，
则 ，
x2?1=?x+b，
x2+x?1?b=0，
△=1?4（?1?b）=0，
b=? ，
当y=?x+b与C2相切时，即与C2有一个公共点，
则 ，
?x2?4x?3=?x+b，
?x2?3x?3?b=0，
△=9?4×（?1）×（?3?b）=0，
b=? ，
∴当b=? 或? 时，直线y=?x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点，
综上所述：当b=? 或? 或3≤b＜ 时，直线y=?x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点．
 
　
三、解答题：
17．（8分）先化简，后求值：（ ? ）÷ ，其中x满足x2?x?2=0．
【解答】解：原式= ×
=x?1，
∵满足x2?x?2=0，
∴x=?1或2，
∵x=2分式无意义，
∴x=?1时，原式=?2．
　
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于F．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．
 
【解答】：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
 ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）∴AE=CF，
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BD⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形．
　
19．（8分）我校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别 正确数字x 人数
A 0≤x＜8 10
B 8≤x＜16 15
C 16≤x＜24 25
D 24≤x＜32 m
E 32≤x＜40 n
根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中，m=　30　，n=　20　，并补全条形统计图．
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是　90°　．
（3）有三位评委老师，每位老师在E组学生完成学校比赛后，出示“通过”或“淘汰”或“待定”的评定结果．学校规定：每位学生至少获得两位评委老师的“通过”才能代表学校参加鄂州市“汉字听写”比赛，请用树形图求出E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率．
 
【解答】 解：（1）∵总人数为15÷15%=100（人），
∴D组人数m=100×30%=30，E组人数n=100×20%=20，
补全条形图如下：
 

（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是360°× =90°，
故答案为：90°；

（3）记通过为A、淘汰为B、待定为C，
画树状图如下：
 
由树状图可知，共有27种等可能结果，其中获得两位评委老师的“通过”有7种情况，
∴E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率为 ．
　
20．（8分）已知关于x的二次函数y=x2?（2m+3）x+m2+2?
（1）若二次函数y的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
【解答】解：（1）由题意得，[?（2m+3）]2?4×1×（m2+2）＞0，
解得，m＞? ；
（2）由根与系数的关系可知，x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
x12+x22=31+|x1x2|，
（x1+x2）2?2x1x2=31+|x1x2|，
（2m+3）2?2×（m2+2）=31+m2+2，
整理得，m2+12m?28=0，
解得，m1=2，m2=?14（舍去），
当m=2时，满足x12+x22=31+|x1x2|．
　
21． （9分）在一次数学活动课上，老师带领学生测量一条南北流向的河的宽度，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行10米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（精确到1米，参考数值：tan31°≈ ，sin31°≈ ）
 
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
 
设CD=x米，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴BD=CD=x米．
在Rt△ACD中，∠DAC=31°，
AD=AB+BD=（10+x）米，CD=x米，
∵tan∠DAC= ，
∴ = ，
解得x=15．
经检验x=15是原方程的解，且符合 题意．
答：这条河的宽度为15米．
　
22．（9分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=9，tan∠CDA= ，求BE的长．
 
【解答】（1）证明：连OD，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵EB为⊙O的切线，ED是切线，
∴ED=EB，∵OB=OD，
∴OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA= ，
∴tan∠OEB= = ，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴ = = = ，
∴CD= ×9=6，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+6）2=x2+92，
解得x= ．
即BE的长为 ．
 
　
23．（10分）某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．
（1）求出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会 出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队总人数的增加而增加，求m的取值范围．
【解答】解：（1）y= ，其中（30＜m≤100）．
（2）由（1）可知当0＜x≤30或x＞m，函数值y都是随着x是增加而增加，
当30＜x≤m时，y=?x2+150x=?（x?75）2+5625，
∵a=?1＜0，
∴x≤75时，y随着x增加而增加，
∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，
∴30＜m≤75．
　
24．（12分）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．
 
（1）求C′点的坐标；
（2）求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
（4）在（3）的条件下，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）作C′H⊥x轴，如图②，
∵△CDE和△OAB为全等的等边三角形，
而三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°得到△C′ED，
∴AC′=OA=2，∠OAB=∠BAC′=60°，
∴∠C′AH=60°，
∴AH= AC′=1，C′H= AH= ，
∴C′（3， ）；
（2）设抛物线解析式为y=ax（x?2），
把C′（3， ）代入得a•3•1= ，解得a= ，
∴抛物线解析式为y= x（x?2），
即y= x2? x；
（3）∵BF为⊙G的切线，
∴AB⊥BF，
而∠FAB=60°，
∴FA=2AB=4，
∴F（?2，0），
∵OB=OA=AC′=BC′=2，
∴四边形AOBC′为菱形，
∴B（1， ），
设直线BF的解析式为y=kx+b，
把F（?2，0），B（1， ）代入得 ，解得 ，
∴直线BF的解析式为y= x+ ；
（4）存在．
抛物线的对称轴为直线x=1，
当x=1时，y= x2? x=? ，则抛物线的顶点坐标为（1，? ），
∵OF=OB=2，
∴△OBF为顶角为120°的等腰三角形，
当AM=AO=2时，点M与点C′重合，△BOF与△AOM相似，此时M（3， ），
当OM=OA时，点M与点C′关于直线x=1对称，△BOF与△AOM相似，此时M（?1， ），
当MA=MO时，点M为抛物线的顶点时，∠OAM=120°，△BOF与△AOM相似，此时M（1，? ），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（3， ）或（?1， ）或（1，? ）．

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