数学归纳法的应用

：数学归纳法的应用 数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
　　一、用数学归纳法证明整除问题
　　用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
　　例1、是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.
　　证明：解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36， f（2）=3×36， f（3）=10×36， f（4）=34×36，由此猜想m=36.
　　下面用数学归纳法证明：
　　（1）当n=1时，显然成立.
　　（2）假设n=k时， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除;当n=k+1时，［2（k+1）+7］•3k+1+9=3［（2k+7）•3k+9］+18（3k--1－1），
　　由于3k-1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.
　　由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36.
　　二、用数学归纳法证明恒等式问题
　　对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．

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