黎曼的一生是短暂的，不到４０个年头。他没有时间获得象欧拉和柯西那么多的数学成果。但他的工作的优异质量和深刻的洞察能力令世人惊叹。我们之所以要介绍黎曼，是因为尽管牛顿和莱布尼兹发现了微积分，并且给出了定积分的论述，但目前教科书中有关定积分的现代化定义是由黎曼给出的。为纪念他，人们把积分和称为黎曼和，把定积分称为黎曼积分。
德国数学家希尔伯特曾指出：“１９世纪最有启发性、最重要的数学成就是非欧几何的发现。”１８２６年俄国数学家罗巴切夫斯基首先在保留欧氏几何前四个公设的同时，提出与欧氏几何第五公设相反的公设：“过平面上直线外一点，至少可以作两条直线与原直线平行。”从而构造了一个新的逻辑体系。在这个新的几何体系里，如同欧几里得几何一样，没有任何逻辑矛盾。在罗巴切夫斯基几何学中。出现了许多与欧氏几何完全不同的定理和命题。如“三角形内角和小于１８０度”；“圆周长与直径的比恒大于π，所大的值随面积的增加而增大”。这种几何学称为非欧几何学。德国的高斯、俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的鲍耶几乎同时提出了非欧几何学的思想，各自独立地创立了非欧几何学。但高斯因“害怕引起某些人的喊声”而未敢公开发表。也由于高斯未能正确评价和鼓励鲍耶的发现，致使鲍耶放弃了数学研究。而罗巴切夫斯基不保守、不消沉，一直坚持公开宣传非欧几何学。他的精神确实令人敬佩，他的几何创新工作终于得到后人的一致承认和普遍赞美，称他是“几何学中的哥白尼”。
１８５４年黎曼提出了一种新的几何学。在这种几何学中，黎曼把欧氏几何的第五公设改为“过平面上一已知直线外一点没有直线与原直线平行”。由此可推出“三角形内角和大于π”的命题，更重要的是他把欧几里得三维空间推广到ｎ维空间，从而得到一种新的几何学－－黎曼非欧几何学。他的工作远远超过前人，他的著作对１９世纪下半叶和２０世纪的数学发展都产生了重大的影响。他不仅是非欧几何的创始人之一，而且他的研究成果为５０年后爱因斯坦的广义相对论提供了数学框架。爱因斯坦在创建广义相对论的过程中，因他缺乏必要的数学工具，长期未能取得根本性的突破，当他的同学、好友，德国数学家格拍斯曼帮助他掌握了黎曼几何和张量分析之后，才使爱因斯坦打开了广义相对论的大门，完成了物理学的一场革命，宣告核时代的来临。爱因斯坦深有体会地说：“理论物理学家越来越不得不服从于纯数学的形式的支配。”爱因斯坦还认为理论物理的“创造性原则寓于数学之中。”黎曼的数学思想精辟独特。对于他的贡献，人们是这样评价的：“黎曼把数学向前推进了几代人的时间”。
非欧几何的建立所产生的一个“最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变了对数学性质的理解”。历史学家通过数学这面镜子，不仅看到了数学的成就与应用，也看到了数学的发展如何教育人们去进行抽象的推理、发扬理性主义的探索精神、激发人们对理想和美的追求。
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