金正大九年（1232）正月，金哀宗得知中路蒙军已经渡河，急召邓州金军回援汴京。金军步骑兵15万人离邓州后，遇上大雨雪天气，粮草不继，冻饿难支。在钧州（今河南禹州）三峰山，被尾追而来的右路蒙军包围，拖雷见金军疲惫不堪，冻饿难支，便开放通往钧州的路口，纵容金兵突围，然后夹击，金兵大败，拖雷率领蒙古 军乘胜追击，并和窝阔台汗派来的援军会合，攻下钧州。金将完颜合达、移剌蒲阿、完颜陈和尚、杨沃衍、樊泽等或战死，或被擒杀。三峰山之战，金军大将损失殆尽，主力被消灭。与此同时，即1232年正月，哀宗还召关陕总帅徒单兀典赴援汴京。二月，金军率老幼相随开赴汴京，不走洛阳大道，改经西南山区。刚出发不久，一部分官兵就叛归蒙古。至铁岭，金兵已数日不食，进退维谷，秦蓝总帅完颜重喜投降，金全军溃败，兀典逃走，后也为蒙军杀死。

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金代的天元术
所谓天元术是解算高次方程的方法，在金无时期十分盛行，金末李冶的《测圆海镜》和《益占演段》两书，都是以问答的方式，阐述天元术的解法，其方法是用“元”字表示未知数（相当于近代数学中设X为未知数），用“太”字表示常数，依据所给的数字列出两个数量相等的方程，两者相减，一端为零，然后进行解算。李冶的著作有，测圆海镜》12卷和《益占演段》3卷，是迄今所见最早的系统论述天元术的著作，成书时间已是金元之后的蒙元时期，前者为1248年，后者为1259年。金元之际天元术的发明以及李冶的有关天元术的论述，在中国数学发展史上占有重要地位，为历代学者极为重视和高度评价。
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