例析用矢量三角形求最小值

矢量三角形法则是从平行四边形法则演变来的，是矢量运算的法则。用矢量三角形分析和计算矢量的最小值，即简便又形象，有事半功倍的效果，下面举例分析。

一、求电场强度最小值

例1　质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，其电荷量为q，且处匀强电场中。当小球A静止时，细线与竖直方向成30°角，如图所示，求匀强电场强度E的最小值及其方向。

解析：由于小球受重力、电场力和绳的拉力处于静止状态，故小球所受的重力和电场力的合力一定沿绳的方向向下。根据三角形法则可做出重力、电场力及其合力的矢量三角形，如图。可见当电场力qE和合力F垂直时，电场力最小，即E最小。

由几何关系得：mgsin30°＝qE

解得：E小＝mg/2q

方向：垂直于绳向上

二、求速度最小值

例2　有一小船在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域，假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，求小船从现在起，相对于静水的最小速度。

解析：小船同时参与两个运动，随水流的运动和相对于水的运动，两分速度分别为v1和v2，与合速度v可组成矢量三角形，如图，当小船恰好在危险区登陆，且v2垂直于v时，v2最小。v2＝v1sinα，由位移关系可得：sinα＝3/5 解得最小速度v2＝3m/s 船头指向：与上游河岸成53°。

三、求力的最小值

例3　将质量m＝5kg的木板置于水平桌面上，其右端三分之一长度推出桌子边缘，木板与桌面间动摩擦因数为，试求欲将木板推回桌面所施加的最小推力。

解析：木板受力为：重力mg、支持力FN、摩擦力Fμ、和推力F。因Fμ与压力成正比，所以Fμ和FN也成正比，两者的合力方向F合是确定的，且tanα＝ Fμ/FN＝μ，可得α＝30°，如图。

刚好推动木板的条件是合力恰好为零，即重力、推力和F合三个力的合力为零。重力和推力的合力应该与F合共线。做重力、推力、及其合力的矢量三角形如图，可知当推力与合力的方向垂直时，其值最小，如图中的F2。可解得 Fmin＝mgsin&alpha 高考;＝25N，方向：与水平方向的夹角为30°向上。

此题将支持力和摩擦力合成为一个方向恒定的力F，通过这种巧妙的转化，可做出矢量三角形，有此法求解。

四、求动量的最小值

例4　真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球速度与竖直方向夹角为37°（取sin37°＝0．6，cos37°＝0．8）。现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中，求小球的最小动量的大小及方向。

解析：首先做出电场力和重力的合力F，再做出初动量P0的方向。根据动量定理可知，合力的方向和动量变化ΔP的方向相同，根据三角形法则，作出P0、ΔP、和末动量Pt的矢量三角形，如图，当Pt垂直于ΔP时，动量最小。

解得：Pmin＝mv0sin37°＝0．6mv0，方向：与电场方向成37°向上。

此题是将电场力和重力合成，得到合力F的方向，从而得到动量变化ΔP的方向，通过转化，得到了动量的矢量三角形，此很简便。

五、求磁感应强度的最小值

例5　如图所示，平行于纸面水平向右的匀强磁场，磁感应强度为B1＝1T。位于纸面内的细直导线，长L＝1m，通有I＝1A的恒定电流。当导线与B1成60°的夹角时，发现其受到的安培力为零，则区域同时存在的另一个匀强磁场的磁感应强度B2的可能值（　）

A．　B．　C．　D．

解析：由题意可知，导线受到的安培力为0，说明B1、B2的合磁场B与I平行，B1、B2和B满足用矢量三角形求最小值的条件。做矢量三角形如图，可知B2垂直合磁场B时，有最小值，且为B1sin60°＝。故正确答案为：BCD

总结：当三个矢量关系能组成矢量三角形，且其中一个矢量恒定；另一个矢量的方向恒定，大小可以变化；第三个矢量大小和方向都在变化。满足以上条件可以用该方法求第三个矢量的最小值，且只有垂直时最小。

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