有界磁场是指在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场区域内经历一段匀速圆周运动，即匀速通过一段圆弧之后离开磁场区域。带电粒子垂直于磁场方向运动，由于从磁场边界进入的方向不同，或者磁场区域边界条件的不同，造成粒子在磁场中运动的轨迹不一样。不仅如此，带电粒子在有界磁场中的运动还涉及到几何知识、三角函数知识、临界条件等方面的内容，所以它所涉及的知识面广，要求的能力较高，是高考的难点之一。

　　一、带电粒子在有界磁场中的运动规律

　　1、在中学阶段只考虑带电粒子垂直进入磁场的情况，所以带电粒子在有界磁场中作匀速圆周运动。

　　2、洛仑兹力提供粒子做圆周运动的向心力，即 。

　　3、洛仑兹力指向轨迹圆的圆心，用左手定则来判断洛仑兹力的方向，即圆心的位置。

　　二、解题时应注意的几个问题

　　1、一定要注意磁场的方向和带电粒子的电性，它们共同决定了带电粒子在磁场中的偏转方向。

　　2、解决带电粒子在有界磁场中的运动这一类问题时，一定要根据题目给的已知条件画出粒子运动轨迹，因为这一类问题涉及到的几何知识、三角函数知识较多。

　　3、根据已知条件确定圆心的方法（如图1）：带电粒子在有界磁场中的运动

　　① 由于洛伦兹力F指向圆心，所以若已知任意两点（一般为入射点和出射点）的速度方向，根据F⊥v，作出两点的速度方向的垂线，交点即为圆心。

　　② 圆心位置在任意一条弦的中垂线上，故若已知轨迹上的两点及其中一点的速度方向，则作出两点的中垂线，它与速度垂线的交点即为圆心。

　　4、根据已知条件确定半径的方法：由几何知识以及三角函数规律求半径或者由洛仑兹力提供向心力这一规律来求半径。其中我们常用的两个几何规律是：① 粒子速度的偏角等于粒子做圆周运动所转过圆心角； ② 弦切角等于粒子做圆周运动所转过的圆心角的一半。

　　5、临界条件一般是找最大（最小）圆心角，一般用的比较多的临界条件是：① 轨迹圆与磁场边界相切；② 粒子在运动过程中轨迹上两点之间的距离不可能超过2R。

　　三、案例探究

　　［例1］如图2所示:在一矩形区域内,不加磁场时,不计重力的电子以某一速度垂直左边界射入,穿过此区域的时间为t。若加上磁感应强度为B、水平向外的磁场，带电粒子仍以原来的速度入射，粒子飞出时偏离原方向

　　θ=600，利用以上数据可以求出下列物理量中（      ）

　　A．带电粒子的比荷。          B．带电粒子在磁场中运动的周期。

　　C．带电粒子的初速度。        D．带电粒子在磁场中运动的半径。

　　分析与解答：设磁场的宽度为L，则粒子射入的速度v=L/t。由于L未知，故C选项错误；如图3，画出粒子的运动半径，则由几何关系可得：粒子在磁场中做圆周运动的半径，由于L未知，也无法求出半径，故D选项错误；因为 ，故可得比荷和粒子运动的周期 ，所以A、B正确。

　　点评：本题给定带电粒子在矩形有界磁场中运动的入射速度的方向及其速度的偏角，由此根据图中的轨迹确定半径及其圆心。本题运用了F⊥v以及速度偏角与粒子做圆周运动所转过圆心角相等这两个规律，再根据周期、半径公式得到最终结果。有界磁场分为矩形和圆形有界磁场两类，圆形有界磁场如例2：

　　［例2］如图4所示，真空中有一半径为R的圆形磁场区域，圆心为O，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B，距O为2R处有一光屏MN，MN垂直于纸面放置，AO过半径垂直于屏，延长线交屏于C。一不计重力的带负电的粒子以初速度 沿AC方向进入圆形磁场区域，最后打在屏上D点，DC相距 不计粒子重力，求粒子的比荷及从A到D所用到的时间。

　　分析与解答：作出粒子的运动轨迹如图5所示设粒子从E点射出磁场，然后作匀速直线运动打在屏上。设作圆周运动的半径为r，圆心为O'，连结OO'，则由几何知识可得：

　　点评：此题将圆周运动与匀速直线运动联系起来，并且用到了圆周运动的对成性：离子在圆形磁场中运动时，沿半径方向射入则必然沿半径方向射出，这增大了难度，是考察综合能力的一道好题。只要画出轨迹，确定圆心，合理利用几何关系，问题就迎刃而解了。

　　［例3］如图6所示,一带正电的质子（带电荷量为e，质量为m）以速度 从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场。已知两板间的距离为d，板长为d，O是板的中点，为使粒子能从两板间射出，试求磁

　　感应强度B应满足的条件。

　　分析与解答：如图7，画出粒子运动的两条临界轨迹：一条是刚好从M点射出，另一条是刚好从N点射出，故有：

　　（1）若从M点射出，则如图，由几何知识有：

　　点评：此题是对带电粒子在磁场中运动的临界条件的考察，首先找出临界条件，画出临界轨迹，再根据几何知识即可求解。

　　四、巩固练习

　　1、如图所示，真空中狭长形的区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向内，区域的宽度为d，CD、EF为区域的边界．现有一束电子（质量为m，电量为e）以速率v从CD侧垂直于磁场与CD成θ角射入，为使电子能从另一侧EF射出，则电子的速率v应满足的条件是____________．

　　2、如图，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩形区域ad的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°，大小为v0的带电粒子。已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，重力影响不计。

　　（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围；

　　（2）问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？

　　3、电量为q、质量为m的带正电粒子在xOy平面上沿着y=a的直线以速度v经y轴上的P点运动到xOy平面上的第一象限内．要求在第一象限内设置磁感应强度为B的一个圆形区域，使带电粒子发生偏转，最后经x轴上的M点（xM=2a）射出，且偏转角θ=60°，如图所示，试求能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径.

　　4、如图所示，在x＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度V沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？

　　来源：短浅的博客

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