5.7 生活中的圆周运动 学案（人教版必修2）

1．火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有____________，需要__________．
如果转弯时内外轨一样高，则由____________________提供向心力，这样，铁轨和车轮
易受损．
如果转弯处外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力不再是竖直向上的，而是
________________，它与重力的合力指向________，为火车提供了一部分向心力，减轻
了轮缘与外轨的挤压．适当设计内外轨的高度差，使火车以规定的速度行驶时，转弯需
要的向心力几乎完全由________________________提供．
2．当汽车以相同的速率分别行驶在凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时，汽车对桥的压
力的区别如下表所示.
内容

项目凸形桥凹形桥
受力分析图

以a方向为
正方向，根据
牛顿第二定
律列方程mg－FN1＝mv2r
FN1＝mg－mv2r
FN2－mg＝mv2r
FN2＝mg＋mv2r

牛顿第三定律FN1′＝FN1
＝mg－mv2r
FN2′＝FN2
＝mg＋mv2r

讨论v增大，FN1′减小；当v增大到gr时，FN1′＝0v增大，FN2′增大，只要v≠0，FN1′<FN2′
由列表比较可知，汽车在凹形桥上行驶对桥面及轮胎损害大，但在凸形桥上，最高点速
率不能超过________．当汽车以v≥gr的速率行驶时，将做__________，不再落到桥面
上．
3．(1)航天器中的物体做圆周运动需要的向心力由__________提供．
(2)当航天器的速度____________时，航天器所受的支持力FN＝0，此时航天器及其内部
的物体处于__________状态．
4．(1)离心现象：如果一个正在做匀速圆周运动的物体在运动过程中向心力突然消失或
合力不足以提供所需的向心力时，物体就会沿切线方向飞出或________圆心运动，这就
是离心现象．离心现象并非受“离心力”作用的运动．
(2)做圆周运动的物体所受的合外力F合指向圆心，且F合＝mv2r，物体做稳定的
________________；所受的合外力F合突然增大，即F合>mv2/r时，物体就会向内侧移动，
做________运动；所受的合外力F合突然减小，即F合<mv2/r时，物体就会向外侧移动，
做________运动，所受的合外力F合＝0时，物体做离心运动，沿切线方向飞出．
5．匀速圆周运动、离心运动、向心运动比较：
匀速圆周运动离心运动向心运动
受力
特点________等于做圆周运动所需的向心力合外力__________或者________提供圆周运动所需的向心力合外力________做圆周运动所需的向心力
图示

力学
方程F____mrω2F____mrω2
(或F＝0)F____mrω2

【概念规律练】
知识点一　火车转弯问题
1．在某转弯处，规定火车行驶的速率为v0，则下列说法中正确的是(　　)
A．当火车以速率v0行驶时，火车的重力与支持力的合力方向一定沿水平方向
B．当火车的速率v>v0时，火车对外轨有向外的侧向压力
C．当火车的速率v>v0时，火车对内轨有向内的挤压力
D．当火车的速率v<v0时，火车对内轨有向内侧的压力
2．修铁路时，两轨间距是1 435 mm，某处铁路转弯的半径是300 m，若规定火车通过
这里的速度是72 km/h.请你运用学过的知识计算一下，要想使内外轨均不受轮缘的挤压，
内外轨的高度差应是多大？

知识点二　汽车过桥问题
3．汽车驶向一凸形桥，为了在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应(　　)
A．以尽可能小的速度通过桥顶
B．适当增大速度通过桥顶
C．以任何速度匀速通过桥顶
D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小
4．如图1所示，

图1
质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧
半径均为20 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)

知识点三　圆周运动中的超重、失重现象
5．在下面所介绍的各种情况中，哪种情况将出现超重现象(　　)
①小孩荡秋千经过最低点　②汽车过凸形桥　③汽车过凹形桥　④在绕地球做匀速圆周
运动的飞船中的仪器
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
知识点四　离心运动
6．下列关于离心现象的说法正确的是(　　)
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆
周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线方向做匀
速直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动
7.

图2
如图2所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球运动到P
点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是(　　)
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变小，小球将可能沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变大，小球将可能沿轨迹Pc做向心运动
【方法技巧练】
竖直平面内圆周运动问题的分析方法
8．如图3所示，

图3
小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是(　　)
A．小球通过最高点时的最小速度是v＝gR
B．小球通过最高点时的最小速度为0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力

图4
9．杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在
竖直面内做圆周运动．如图4所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm.求：
(1)在最高点水不流出的最小速率．

(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小．

参考答案
前预习练
1．向心加速度　向心力　外轨对轮缘的弹力　斜向弯道的内侧　圆心　重力G和支持力FN的合力
2.gr　平抛运动
3．(1)万有引力　(2)等于gR　完全失重
4．(1)远离　(2)匀速圆周运动　向心　离心
5．合外力　突然消失　不足以　大于　＝　<　>
堂探究练
1．ABD
2．0.195 m

解析　火车在转弯时所需的向心力由火车所受的重力和轨道对火车支持力的合力提供的，如图所示，图中h为两轨高度差，d为两轨间距，mgtan α＝mv2r，tan α＝v2gr，又由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小，可近似认为：tan α≈sin α＝hd.
因此：hd＝v2gr，则h＝v2dgr＝202×1.4359.8×300 m＝0.195 m.
点评　近似计算是本题的关键一步，即当角度很小时：sin α≈tan α.
3．B
4．(1)10 m/s　(2)105 N
解析　(1)汽车在凹形桥底部时对桥面压力最大，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝mv2maxr.
代入数据解得vmax＝10 m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时对桥面压力最小，由牛顿第二定律得：
mg－FN′＝mv2r.
代入数据解得FN′＝105 N.
由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N.
点评　(1)汽车行驶时，在凹形桥最低点，加速度方向竖直向上，汽车处于超重状态，故对桥面的压力大于重力；在凸形桥最高点，加速度方向竖直向下，处于失重状态，故对桥面的压力小于重力．
(2)汽车在拱形桥的最高点对桥面的压力小于或等于汽车的重力．
①当v＝gR时，FN＝0.
②当v>gR时，汽车会脱离桥面，发生危险．
③当0≤v<gR时，0<FN≤mg.
5．B　[物体在竖直平面内做圆周运动，受重力和拉力(支持力)的作用，若向心加速度向下，则mg－FN＝mv2R，有FN<mg，物体处于失重状态；若向心加速度向上，则FN－mg＝mv2R，有FN>mg，物体处于超重状态；若mg＝mv2R，则FN＝0.]
点评　物体在竖直平面内做圆周运动时，在最高点处于失重状态；在最低点处于超重状态．
6．C　[物体之所以产生离心现象是由于F合＝F向<mω2r，并不是因为物体受到离心力的作用，故A错；物体在做匀速圆周运动时，若它所受到的力突然都消失，根据牛顿第一定律，它从这时起做匀速直线运动，故C正确，B、D错．]
7．ACD　[由F＝mv2r知，拉力变小，F不能提供所需向心力、r变大、小球做离心运动；反之，F变大，小球做向心运动．]
8．BC　[小球沿管道做圆周运动的向心力由重力及管道对小球的支持力的合力沿半径方向的分力提供．由于管道的内、外壁都可以提供支持力，因此过最高点的最小速度为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下受外侧管壁指向圆心的支持力作用，C正确；在ab线以上是否受外侧管壁的作用力由速度大小决定，D错误．]
9．(1)2.42 m/s　(2)2.6 N
解析　(1)在最高点水不流出的条是水的重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤mv2l，则所求最小速率v0＝lg＝0.6×9.8 m/s＝2.42 m/s.
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力已不足以提供向心力，此时水杯底对水有一竖直向下的力，设为FN，由牛顿第二定律有FN＋mg＝mv2l
即FN＝mv2l－mg＝2.6 N
由牛顿第三定律知，水对杯底的作用力FN′＝FN＝2.6 N，方向竖直向上．
方法总结　对于竖直面内的圆周运动，在最高点的速度v＝gR往往是临界速度，若速度大于此临界速度，则重力不足以提供所需向心力，不足的部分由向下的压力或拉力提供；若速度小于此临界速度，侧重力大于所需向心力，要保证物体不脱离该圆周，物体必须受到一个向上的力．

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