第4节 平衡条的应用之动态分析
物体在做匀速直线运动或在缓慢移动的过程中，其中有一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，这类问题是动态平衡问题．
例1：如图所示，用 AO、BO 细绳吊一重物 P 静止，其中 AO 绳水平．现用水平向右的力 F 缓慢拉起重物 P 的过程中，绳 OB 所受的拉力变化为（ ）
A．变大 B．变小
C．先变小再变大 D．不变
[分析]由于缓慢拉起重物 P 的过程中，F的大小在改变，OP绳拉力大小和方向都在改变，为了避开研究F及OP绳拉力的变化情况，可以结点O、OP绳及重物整体为研究对象，用解析法求解．
[解答]以结点O、OP绳及重物整体为研究对象，受到重力mg、F、AO绳拉力FAO和BO绳拉力FOB而平衡，如图所示．由平衡条得FOB = mgsinθ ，可见，FBO与F变化情况无关．
答案D．
[规律小结]①物体处于动态平衡时，可以用解析法求解，但要对研究对象的任一状态进行受力分析，根据具体情况引入自变参量，建立平衡方程，找出待求量与自变参量的一般函数关系，然后根据自变参量的变化确定待求量的变化．
②在物体受力动态平衡问题上，是用隔离法还是用整体法求解，要根据具体题目具体问题定．如果本题改为求AO绳所受的拉力变化情况，应先对重物P用隔离法判断F变大，再用整体法判断AO绳所受的拉力变大．
注意：本题极易认为拉力FAO不变，F 缓慢拉起重物 P 的过程中可知F缓慢变大， 所以FBO的水平分力缓慢变小而错选B。
例2：绳的一端A固定在竖直墙壁上,另一端通过固定在直杆BE的定滑轮吊一重物，如图所示，杆BE可以绕B点转动．杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计，设AC段绳的拉力大小为F，BE杆受的压力大小为FN，把绳端A点沿墙稍向下移一微小距离，整个装置再一次平衡后有（ ）
A．F、FN均增大 B．F先减小后增大、FN增大
C．F不变、FN增大 D．F、FN均不变
[分析]当绳端A点沿墙稍向下移一微小距离时，AC绳上的拉力F方向发生变化，两段绳的夹角变小，使杆的方向即BE的支持力FN′方向发生变化，即FN的方向也发生变化，而FN的大小如何变化呢？
思路一：由于本题属于三力动态平衡问题可以应用图解法直观解决．
思路二：利用三角形相似的性质，找出关系式进行讨论。
[解答]由于绳通过定滑轮吊一重物，所以两段绳上的拉力大小均为重物的重力G，所以选项A、B错误．以与定滑轮接触的那一小段绳C为研究对象，受到三个力作用：竖直绳对C的拉力F1、AC绳对C的拉力F、杆BE对C的支持力FN′．
解法一：用图解法判断FN大小变化情况。作出恒力F1的平衡力F1′，以作用点C为圆心，以F1的大小为半径作圆，则力F和F1′的矢端一定落在圆周上．根据平行四边形定则作图，如图甲所示，可知当A点沿墙稍向下移一微小距离时FN = FN′增大，选项C正确，D错误．
解法二：受力如图乙所示，由于FF2∥AB，△CAB与△CFF2相似，有
F2BC = F1AB ， ①
又 FN = FN′ = F2，F1 = G ②
由①、②式得 FN = BCAB G， ③
当绳端A点沿墙稍向下移一微小距离时，AB变小，而BC、G均不变，由③式可知，FN变大，选项C正确，D错误．
解法三：F与F1相等，FN必在F与F1的夹角的角平分线上，由于F = F1 = G，且AC下移时两力的夹角减小，故F与F1的合力F2增大，所以FN′ = F2增大。
答案C．
[规律小结]①图解法是根据平行四边形定则进行力的合成或分解，利用邻边及其夹角跟对角线的关系分析力的大小或方向变化情况的方法．图解法具有直观简便的特点，多用于定性研究，对三个共点力平衡的动态分析问题应用图解法尤其有效，但要求平行四边形要画准确些．
②动态平衡问题用图解法解题四步骤：
a．对研究对象进行受力分析，判断是否属于共点的三力平衡问题．
b．分析物体所受各力的大小、方向在动态平衡中变化特点，明确哪个是恒力；哪个是大小不变、方向变的力；哪个是方向不变、大小变的力；哪个是大小和方向都变的力．
c．作出恒力的平衡力．
若存在大小不变、方向变的力，以作用点为圆心以此力的大小为半径作圆，则此圆上的任一点与平衡力矢端的连线为第三个力．
若存在方向不变、大小变的力，过恒力的矢端作此力方向的平行线，则第三个力的矢端一定落在这条平行线上．
d．根据平行四边形定则利用三力的矢量三角形讨论有关问题．
③利用三角形相似的性质，把力的矢量三角形与结构三角形联系越，建立力的大小与边长的函数关系，也是处理动态平衡问题的一个重要解题方法．
④若直杆是轻杆，且只有两端受力，则杆两端所受的力一定都沿杆的方向．
注意：本题极易因没有理解“整个装置再一次平衡”和E处滑轮的作用而认为当AC绳与竖直绳垂直时，AC绳上的拉力F有最小值，错选B。
例3：如图所示，在半径为R的光滑半球面的正上方悬挂一个光滑的小定滑轮（距地面高度为h）．重为G的小球A（可视为质点）用绕过滑轮的细绳被站在地面上的人拉住．人拉动细绳，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，试分析球面对小球的支持力和细绳拉力大小各如何变化．
[分析]为什么要设置球面而不设置成斜面呢？小定滑轮为什么要设置在半球面的正上方而不设置在左上方或右上方？这说明了支持力FN、拉力F的大小可能受到R、h等的限制，要求找出其函数关系．本题从几何关系入手，寻找与力的矢量三角形相似的结构三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为结构三角形边长的大小变化问题进行讨论．
[解答] 由于小球缓慢运动，受力平衡有FN′ = FN，观察图不难发现：F′FN′∥OB，△AF′FN′与△ABO相似，则有
FN′ G = OA OB = R h ，即FN = R h G， ①
F′ G = AB OB = AB h ，即F = F′ = AB h G， ②
球缓慢上移的过程中，由于G、R、h都不变，而细绳长AB逐渐减小，由①式可知，支持力FN大小不变；由②式可知，细绳的拉力F′逐渐减小．
[规律小结]①本题是属于三个共点力平衡问题，虽然可以用图解法处理，但是要求画图要十分准确，两次的小球位置要相距大一些，小球、定滑轮都要画成一个点，定滑轮一定要画在半球面的正上方，只有这样，才能确定球面对小球的支持力和细绳拉力大小的变化情况．
②对受一恒定外力和方向都变化的另外两个外力作用而平衡的讨论问题，单纯应用平衡条列出方程，用解析法求解有时不易讨论清楚，若能结合相应的三角形的知识、正弦定理等数学知识进行讨论，往往会得到事半功倍之功效．
注意：本题极易受到斜面上物体平衡时FN = mgcosα、F = mgsinα思维定势的影响，在小球缓慢运动到接近顶点的过程中，错认为绳AB沿切线方向，相当于斜面的倾角α变小，支持力FN逐渐增大。
同步训练：
1、如图所示，物块静止于倾斜的木板上，若木板的倾角θ缓慢减小到0°，则木板对物块的支持力FN和摩擦力Ff的变化情况是（ ）
A．FN、Ff都增大 B．FN、Ff都减小
C．FN减小，Ff增大 D．FN增大，Ff减小
2、如图3所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（ ）
A．绳子的拉力F不断增大
B．绳子的拉力F不变
C．船所受的浮力不断减小
D．船所受的浮力不断增大
3、如图所示，绳与杆均不计重力，承受弹力的最大值一定，A端用绞链固定，滑轮O在A点正上方， B端吊一重物P，绳与B端是连接在一起的，滑轮大小及摩擦均可忽略。现施拉力F将B缓慢上拉，在杆达到竖直前（绳子、杆均均未断） （ ）
A．绳子OB越越容易断． B．绳子OB越越不容易断．
C．杆越越容易断． D．杆越越不容易断．
4、（2005•苏州）当物体从高空下落时，所受阻力会随物体的速度增大而增大，因此经过下落一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的收尾速度．研究发现，在相同环境条下，球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关，已知g取10m/s2．下表是某次研究的实验数据
小球编号ABCDE
小球的半径（×10 3m）0.50.51.522.5
小球的质量（×10 6kg）254540100
小球的收尾速度（m/s）1640402032
（1）根据表中的数据，求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）根据表中的数据，归纳出球型物体所受阻力Ff与球的速度大小及球的半径的关系（写出有关表达式、并求出比例系数）．
（3）现将C号和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受阻力与单独下落时的规律相同．让它们同时从足够高的同一高度下落，试求出它们的收尾速度；并判断它们落地的顺序（不需要写出判断理由）．
[参考答案]
1、D[解析]解法一：以物体为研究对象，受到重力g、木板的支持力FN和静摩擦力Ff的作用，作出重力g的平衡力F，过F的矢端分别作FN、Ff的平行线以确定FN、Ff的大小．由图可知θ缓慢减小到0°时，FN增大，Ff减小．
解法二：在木板的倾角θ缓慢减小到0°的过程中，物体受力平衡，有
FN = gcosθ，Ff = gsinθ，
由于0 ≤ θ < 90°，所以θ↓→ cosθ↑→ FN↑，θ↓→ sinθ↓→ Ff↓
2、AC[解析]小船共受四个力作用：重力G、浮力F1、水的阻力Ff、绳子拉力F．引入绳与水平方向的夹角θ为参量．
对小船，有Fcosθ = Ff，F1 = G ? Fsinθ．
由于重力G和水对小船的阻力Ff不变，在靠岸过程中θ不断增大，所以F不断增大，F1不断减小．
3、B[解析]BP绳的拉力F1 = G，由三角形相似的性质有
FOB = FNAB = F1OA，得F = OBOAG，FN = ABOAG，B缓慢上拉的过程中，OB变小，但OA、AB均不变，所以F变小，FN不变．
4、[解析]（1）球在达到收尾速度时为平衡状态，有 Ff = mg
所以 FfB∶FfC = mB∶mC
代入数据得 FfB∶FfC = 1∶9
（2）由表中A、B号球的有关数据可得，阻力与速度成正比，即 Ff ∝ υ
由表中B、C号球有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即 Ff ∝ r2
得 Ff = kυr2
对D号球，FfD = kυDrD2，k = FfDυDrD2 = 40×10-6×1020×(2×10-3 )2 N• s/m3 = 5N• s/m3
（3）将C号和D号小球用细线连接后，其收尾速度应满足
mCg + mDg = FfC + FfD
即 ( mC + mD ) g = kυ ( rC2 + rD2 )
代入数据得 υ = 27.3m/s
比较C号和D号小球的质量和半径，可判断C球先落地．
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