1、 功和功率 Ⅱ
2、 动能和动能定理 Ⅱ
3、 重力做功与重力势能 Ⅱ
4、 功能关系、机械能守恒定律及其应用 Ⅱ
【考纲知识梳理】
一、功
1、概念：一个物体受到力的作用，并且在这个力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2、做功的两个必要因素： 力和物体在力的方向上的位移
3、公式：W＝FScosα （α为F与s的夹角）．功是力的空间积累效应。
4、功的正负判断
0≤θ＜ 90° 力F对物体做正功,
θ= 90° 力F对物体不做功,
90°＜θ≤180° 力F对物体做负功。
二、功率
1、功率的定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率，它表示物体做功的快慢．
2、功率的定义式： ，所求出的功率是时间t内的平均功率。
3、计算式：P=Fvcos θ , 其中θ是力F与速度v间的夹角。用该公式时，要求F为恒力。
（1）当v为即时速度时，对应的P为即时功率；
（2）当v为平均速度时，对应的P为平均功率。
（3）重力的功率可表示为 PG =mgv⊥ ，仅由重力及物体的竖直分运动的速度大小决定。
（4）若力和速度在一条直线上,上式可简化为 Pt=F?vt
【要点名师透析】
一、判断正负功的方法
1.根据力和位移方向之间的夹角判断
此法常用于恒力做功的判断.
如图所示,在水平面上用一水平力F推着斜面体向左匀速运动了一段位移l,斜面体上的m受到三个恒力的作用,即G、FN、Ff，由于这三个力与位移l夹角分别为90°、小于90°、大于90°，所以G不做功，FN做正功,Ff做负功.
2.根据力和瞬时速度方向的夹角判断:此法常用于判断质点做曲线运动时变力的功,夹角为锐角时做正功,夹角为钝角时做负功,夹角为直角时不做功. 3.从能的转化角度来进行判断:此法常用于判断相互联系的两个物体之间的相互作用力做功的情况.例如车M静止在光滑水平轨道上，球m用细线悬挂在车上，由图中的位置无初速地释放，则可判断在球下摆过程中绳的拉力对车做正功.因为绳的拉力使车的动能增加了.又因为M和m构成的系统的机械能是守恒的，M增加的机械能等于m减少的机械能，所以绳的拉力一定对球m做负功.
注意： (1)作用力和反作用力虽然等大反向，但由于其分别作用在两个物体上，产生的位移效果无必然联系，故作用力和反作用力的功不一定一正一负，大小也不一定相等.
(2)摩擦力并非只做负功，可以做正功、负功或不做功.
【例1】如图所示,物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带,传送带以图示方向匀速运转,则传送带对物体做功情况可能是
A.始终不做功
B.先做负功后做正功
C.先做正功后不做功
D.先做负功后不做功
【答案】选A、C、D.
【详解】设传送带运转的速度大小为v1,物体刚滑上传送带时的速度大小为v2.(1)当v1=v2时,物体随传送带一起匀速运动,故传送带与物体之间不存在摩擦力,即传送带对物体始终不做功,A正确.
(2)当v1
二、功的计算
1.求解恒力做功的流程图
2.变力做功
(1)用动能定理：W=
(2)若功率恒定,则用W=Pt计算.
3.滑动摩擦力做的功有时可以用力和路程的乘积计算.
4.多个力的合力做的功
(1)先求F合,再根据W=F合?lcosα计算，一般适用于整个过程中合力恒定不变的情况.
(2)先求各个力做的功W1、W2…Wn，再根据W总=W1+W2+…+Wn计算总功，这是求合力做功常用的方法.
【例2】(2011?白银模拟)(12分)如图所示,建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg,求这一过程中：
(1)人拉绳子的力做的功；
(2)物体的重力做的功；
(3)物体受到的各力对物体做的总功.
【答案】(1)2 000 J (2)-2 000 J (3)0
【详解】(1)工人拉绳子的力： F= (3分)
工人将料车拉到斜面顶端时,拉绳子的长度：l=2L，根据公式W=Flcosα,得W1= =2 000 J (3分)
(2)重力做功：W2=-mgh=-mgLsinθ=-2 000 J (3分)
(3)由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力为0,故W合=0 (3分)
三、机动车两种启动方式
机动车等交通工具，在启动的时候，通常有两种启动方式，即以恒定功率启动和以恒定加速度启动.现比较如下：
【例3】(16分)图示为修建高层建筑常用的塔式起重机.在起重机将质量m=5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a=0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm=1.02 m/s的匀速运动.取g=10 m/s2,不计额外功.求：
(1)起重机允许输出的最大功率.
(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率.
【答案】(1)5.1×104 W (2)5 s 2.04×104 W
【详解】 (1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力.
P0＝F0vm，P0＝mgvm (2分)
代入数据，有：P0＝5.1×104 W (2分)
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时
间为t1,有：P0＝Fv1，F－mg＝ma，v1＝at1 (4分)代入数据，得：t1＝5 s (2分)
t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，
输出功率为P，则：v2＝at，P＝Fv2 (4分)代入数据，得:P＝2.04×104 W. (2分)
【感悟高考真题】
1.（2011?海南物理?T9）一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t=0时起，第1秒内受到2N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1N的外力作用。下列判断正确的是（ ）
A. 0～2s内外力的平均功率是 W
B.第2秒内外力所做的功是 J
C.第2秒末外力的瞬时功率最大
D.第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
【答案】选AD。
【详解】第1秒内的加速度 m/s ，1秒末的速度 m/s；第2秒内的加速度 m/s ,第2秒末的速度 m/s；所以第2秒内外力做的功 J，故B错误；第１秒末的瞬时功率 。第２秒末的瞬时功率 ，故Ｃ错误。0～2s内外力的平均功率 W，故A正确；第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值 ，故D正确。
2.（2010?新课标卷）16.如图所示，在外力作用下某质点运动的v-t图象为正弦曲线.从图中可以判断
A、在 时间内，外力做正功
B、在 时间内，外力的功率逐渐增大
C、在 时刻，外力的功率最大
D、在 时间内，外力做的总功为零
答案：AD
解析：选项B错误，根据P=Fv和图象斜率表示加速度，加速度对应合外力，外力的功率先减小后增大。选项C错误，此时外力的功率为零。
3.（2010?上海理综）43．纯电动概念车E1是中国馆的镇馆之宝之一。若E1概念车的总质量为920kg，在16s内从静止加速到100km/h（即27.8m/s），受到恒定的阻力为1500N，假设它做匀加速直线运动，其动力系统提供的牵引力为 N。当E1概念车以最高时速120km/h（即33.3m/s）做匀速直线运动时，其动力系统输出的功率为 kW。
答案：3.1×103；50
4.（09?广东理科基础?9）物体在合外力作用下做直线运动的v一t图象如图所示。下列表述正确的是 （ A ）
A．在0?1s内，合外力做正功
B．在0?2s内，合外力总是做负功
C．在1?2s内，合外力不做功
D．在0?3s内，合外力总是做正功
解析：根据物体的速度图象可知，物体0-1s内做匀加速合外力做正功，A正确；1-3s内做匀减速合外力做负功。根据动能定理0到3s内，1?2s内合外力做功为零。
5.（09?宁夏?17） 质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t=0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则 （ BD ）
A． 时刻的瞬时功率为
B． 时刻的瞬时功率为
C．在 到 这段时间内，水平力的平均功率为
D. 在 到 这段时间内，水平力的平均功率为
6.（09?上海?46）与普通自行车相比，电动自行车骑行更省力。下表为某一品牌电动自行车的部分技术参数。在额定输出功率不变的情况下，质量为60Kg的人骑着此自行车沿平直公路行驶，所受阻力恒为车和人总重的0.04倍。当此电动车达到最大速度时，牵引力为 N,当车速为2s/m时，其加速度为 m/s2(g=10m m/s2)
规格后轮驱动直流永磁铁电机
车型14电动自行车额定输出功率200W
整车质量40Kg额定电压48V
最大载重120 Kg额定电流4.5A
答案：40：0.6
7.（09?海南物理?7）一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向 不变，大小随时间的变化如 图所示。设该物体在 和 时刻相对于出发点的位移分别是 和 ，速度分别是 和 ，合外力从开始至 时刻做的功是 ，从 至 时刻做的功是 ,则 （ AC ）
A． B．
C． D．
8.（09?四川?23）图示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m=5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上作匀加速直线运动，加速度a=0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm=1.02 m/s的匀速运动。取g=10 m/s2,不计额外功。求：
(1)起重机允许输出的最大功率。
(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率。
解析：
(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力。
P0＝F0vm ①
P0＝mg ②
代入数据，有：P0＝5.1×104W ③
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1,有：
P0＝F0v1 ④
F－mg＝ma ⑤
V1＝at1 ⑥
由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5 s ⑦
T＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则
v2＝at ⑧
P＝Fv2 ⑨
由⑤⑧⑨，代入数据，得:P＝2.04×104W。
【考点模拟演练】
1.设汽车在启动阶段所受阻力恒定并做匀加速直线运动，则在这过程中( )
A.牵引力增大，功率增大
B.牵引力不变，功率增大
C.牵引力增大，功率不变
D.牵引力不变，功率不变
【答案】选B.
【详解】汽车在启动阶段做匀加速直线运动，其加速度为定值，由F-Ff=ma知牵引力F不变；又由P=Fv知功率P增大，B正确.
2.(2011?宁波模拟)起重机以1 m/s2的加速度将质量为1 000 kg的货物由静止开始匀加速向上提升，若g取10 m/s2，则在1 s内起重机对货物所做的功是( )
A.500 J B.4 500 J C.5 000 J D.5 500 J
【答案】选D.
【详解】货物的加速度向上，由牛顿第二定律有： F-mg＝ma，起重机的拉力F＝mg＋ma＝11 000 N，货物的位移是x＝ ＝0.5 m，做功为W=Fx=5 500 J. 故D正确.
3.一辆汽车保持功率不变驶上一斜坡，其牵引力逐渐增大，阻力保持不变，则在汽车驶上斜坡的过程中( )
A.加速度逐渐增大 B.速度逐渐增大
C.加速度逐渐减小 D.速度逐渐减小
【答案】选C、D.
【详解】由P=F?v可知，汽车的牵引力逐渐增大，其上坡的速度逐渐减小，汽车的加速度方向沿坡向下，由牛顿第二定律得：mgsinθ+Ff-F=ma,随F增大，a逐渐减小，综上所述，C、D正确，A、B错误.
4.分别对放在粗糙水平面上的同一物体施一水平拉力和一斜向上的拉力使物体在这两种情况下的加速度相同，当物体通过相同位移时，这两种情况下拉力的功和合力的功的正确关系是( )
A.拉力的功和合力的功分别相等
B.拉力的功相等，斜向上拉时合力的功大
C.合力的功相等，斜向上拉时拉力的功大
D.合力的功相等，斜向上拉时拉力的功小
【答案】选D.
【详解】两种情况下加速度相等，合力相等，位移相等，所以合力的功相等，第一种情况下拉力的功W1＝F1x，第二种情况下拉力的功W2＝F2xcosθ，由受力分析F1－Ff1＝ma，F2cosθ－Ff2＝ma，Ff1＞Ff2，则F1＞F2cosθ，即W1＞W2， 即斜向上拉时拉力做的功小，D正确.
5.(2011?广州模拟)如图，拖着旧橡胶轮胎跑是身体耐力训练的一种有效方法.如果某受训者拖着轮胎在水平直道上跑了100 m，那么下列说法正确的是( )
A.轮胎受到地面的摩擦力做了负功
B.轮胎受到的重力做了正功
C.轮胎受到的拉力不做功
D.轮胎受到地面的支持力做了正功
【答案】选A.
【详解】根据力做功的条件，轮胎受到的重力和地面的支持力都与位移垂直，这两个力均不做功，B、D错误；轮胎受到地面的摩擦力与位移反向，做负功，A正确；轮胎受到的拉力与位移夹角小于90°，做正功，C错误.
6．(2011?扬州检测)一辆汽车从静止出发，在平直的公路上加速前进，如果发动机的牵引力保持恒定，汽车所受阻力保持不变，在此过程中( )
A．汽车的速度与时间成正比
B．汽车的位移与时间成正比
C．汽车做变加速直线运动
D．汽车发动机做的功与时间成正比
【答案】A
【详解】由F－Ff＝ma可知，因汽车牵引力F保持恒定，故汽车做匀加速直线运动，C错误；由v＝at可知，A正确；而x＝12at2，故B错误；由WF
＝F?x＝F?12at2可知，D错误．
7．(2011年广东六校联合体联考)如图所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由滑下，然后在水平面上前进至B点停下．已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ，滑雪者(包括滑雪板)的质量为m.A、B两点间的水平距离为L.在滑雪者经过AB段运动的过程中，克服摩擦力做的功( )
A．大于μmgL B．等于μmgL
C．小于μmgL D．以上三种情况都有可能
【答案】选B.
【详解】设斜面的倾角为θ，则对滑雪者从A到B的运动过程中摩擦力做的功为：WFf＝μmgACcosθ＋μmgCB①，由图可知ACcosθ＋CB＝L②，由①②两式联立可得：WFf＝μmgL，故B正确．
8．(2011年黄冈模拟)如图所示，质量相同的两物体处于同一高度，A沿固定在地面上的光滑斜面下滑，B自由下落，最后到达同一水平面，则( )
A．重力对两物体做的功相同
B．重力的平均功率相同
C．到达底端时重力的瞬时功率PA＝PB
D．到达底端时两物体的动能相同，速度相同
【答案】选A.
【详解】由于两个物体质量相同、下落高度相同，所以重力对两物体做的功相同，A选项正确．由于下落的时间不同，所以重力的平均功率不相同，B选项错误．根据机械能守恒可知，两物体到达底端时动能相同，即速度大小相同、方向不同，D选项错误．由瞬时功率的计算式可得PA＝mgvsinθ(θ为斜面倾角)，PB＝mgv，因此，到达底端时重力的瞬时功率PA
A．汽车开始时做匀加速运动，t1时刻速度达到v，然后做匀速直线运动
B．汽车开始时做匀加速直线运动，t1时刻后做加速度逐渐减小的直线运动，速度达到v后做匀速直线运动
C．汽车开始时牵引力逐渐增大，t1时刻牵引力与阻力大小相等
D．汽车开始时牵引力恒定，t1时刻牵引力与阻力大小相等
【答案】选B.
【详解】开始时，汽车的功率与时间成正比，即：P＝Fv＝Fat，所以汽车牵引力恒定，汽车加速度恒定，汽车做匀加速直线运动；在t1时刻达到最大功率，此时，牵引力仍大于阻力，但随着速度的增大，汽车牵引力减小，汽车加速度逐渐减小至零后做匀速直线运动，B正确．
10．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P以后，起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为止，物体上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为Pv2
B．钢绳的最大拉力为Pv1
C．重物的最大速度v2＝Pmg
D．重物匀加速运动的加速度为Pmv1－g
【答案】BCD
【详解】由F－mg＝ma和P＝Fv可知，重物匀加速上升过程中钢绳拉力大于重力且不变，达到最大功率P后，随v增加，钢绳拉力F变小，当F＝mg时重物达最大速度v2，故v2＝Pmg，最大拉力F＝mg＋ma＝Pv1，A错误，B、C正确，由Pv1－mg＝ma得：a＝Pmv1－g，D正确．
11．(2011?盐城检测)(14分)静止在水平地面上的木箱，质量m＝50 kg，木箱与地面间的动摩擦因数μ＝0.4，若用大小为400 N、方向与水平方向成37°角的斜向上的拉力拉木箱从静止开始运动，使木箱能够到达50 m远处，拉力最少做多少功？(cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2)
【答案】7.68×103 J
【详解】欲使拉力做功最少，须使拉力作用的位移最小，故木箱应先在拉力作用下加速，再撤去拉力使木箱减速，到达50 m处时速度恰好减为0，设加速时加速度的大小为a1，减速时加速度的大小为a2.
由牛顿第二定律得，加速时有：
水平方向Fcos 37°－μFN＝ma1
竖直方向Fsin 37°＋FN－mg＝0
减速时有：μmg＝ma2
且有v2＝2a1x1＝2a2x2
x1＋x2＝x
联立以上各式解得：x1≈24 m
由功的定义，有
W＝Fx1cos 37°＝400×24×0.8 J＝7.68×103 J.
12. (2011年上海浦东模拟)一辆汽车质量为1×103 kg，最大功率为2×104 W，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定．发动机的最大牵引力为3×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数1v的关系如图所示．试求：
(1)根据图线ABC判断汽车做什么运动？
(2)v2的大小；
(3)整个运动过程中的最大加速度；
(4)匀加速运动过程的最大速度是多大？当汽车的速度为10 m/s时发动机的功率为多大？
【答案】(1)见解析 (2)20 m/s (3)2 m/s2 (4)6.67 m/s 2×104 W
【详解】(1)题图中图线AB段牵引力F不变，阻力Ff不变，汽车做匀加速直线运动，图线BC的斜率表示汽车的功率P，P不变，则汽车做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度v2，此后汽车做匀速直线运动．
(2)当汽车的速度为v2时，牵引力为F1＝1×103 N，
v2＝PmF1＝2×1041×103 m/s＝20 m/s.
(3)汽车做匀加速直线运动时的加速度最大
阻力Ff＝Pmv2＝2×10420 N＝1000 N
a＝Fm－Ffm＝?3－1?×1031×103 m/s2＝2 m/s2.
(4)与B点对应的速度为v1＝PmFm＝2×1043×103 m/s
≈6.67 m/s.
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