高三第一轮复习 第五 功和能
第一节 功
基础知识 一、功的概念
1、定义： 力和力的作用点通过位移的乘积．
2.做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移
3、公式：W＝FScosα（α为F与s的夹角）．
说明：恒力做功大小只与F、s、α这三个量有关．与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等其他因素无关，也与物体运动的路径无关．
4.单位：焦耳（J) 1 J＝1N•m.
5.物理意义：表示力在空间上的积累效应，是能的转化的量度
6.功是标量，没有方向，但是有正负．正功表示动力做功，负功表示阻力做功，功的正负表示能的转移方向．
①当0≤a＜900时W＞0，力对物体做正功；
②当α=900时W＝0，力对物体不做功；
③当900＜α≤1800时W＜0，力对物体做负功或说成物脚体克服这个力做功，这两种说法是从二个角度描述同一个问题．
二、注意的几个问题
①F：当F是恒力时，我们可用公式W＝Fscosθ运算；当F大小不变而方向变化时，分段求力做的功；当F的方向不变而大小变化时，不能用W＝Fscosθ公式运算（因数学知识的原因），我们只能用动能定理求力做的功．
②S：是力的作用点通过的位移，用物体通过的位移表述时，在许多问题上学生往往会产生一些错觉，在后面的练习中会认识到这一点，另外位移S应当弄清是相对哪一个参照物的位移
③功是过程量：即做功必定对应一个过程（位移），应明确是哪个力在哪一过程中的功．
④什么力做功：在研究问题时，必须弄明白是什么力做的功．如图所示，在力F作用下物体匀速通过位移S则力做功FScosθ，重力做功为零，支持力做功为零，摩擦力做功－Fscosθ，合外力做功为零．
例1．如图所示，在恒力F的作用下，物体通过的位移为S，则力F做的功为
解析：力F做功W＝2Fs．此情况物体虽然通过位移为S．但力的作用点通过的位移为2S，所以力做功为2FS． 答案：2Fs
例2．如图所示，把A、B两球由图示位置同时由静止释放（绳开始时拉直），则在两球向左下摆动时．下列说法正确的是
A、绳子OA对A球做正功
B、绳子AB对B球不做功
C、绳子AB对A球做负功
D、绳子AB对B球做正功
解析：由于O点不动，A球绕O点做圆周运动，OA对球A不做功。对于AB段，我们可以想象，当摆角较小时．可以看成两个摆长不等的单摆，由单摆的周期公式就可以看出，A摆将先回到平衡位置．B摆将落后于A摆，AB绳对A球做负功，对B球做正功。答案：CD
扩展与研究：一个力对物体做不做功，是正功还是负功，判断的方法是：①看力与位移之间夹角，或者看力与速度方向之间的夹角：为锐角时，力对物体做正功，在上例中AB的拉力与B球的速度方向就是锐角；为钝角时，力对物体做负功，上例中AB的拉力与A球的速度方向就是钝角。为直角时，力对物体不做功，上例中OA与A球的拉力与A球速度方向就是直角。②看物体间是否有能量转化。若有能量转化，则必定有力做功。此法常用于相连的物体做曲线运动的情况。
练习1：如图所示，一辆小车静止在光滑水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上，由图中位置无初速释放，则在小球下摆过程中，绳的拉力（）
A、对小球不做功
B、对小球做正功
C、对小球做负功
D、对小车做正功
规律方法 1、恒力功的计算方法
1.由公式W=Fs cosα求解
两种处理办法：
①W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移scosα,即将物体的位移分解为沿F方向上和垂直F方向上的两个分位移s1和s2，则F做的功 W＝F s1＝Fscosα.
②W等于力F在位移s方向上的分力Fcosα乘以物体的位移s，即将力F分解为沿s方向和垂直s方向的两个分力F1和F2，则F做功W=F1s＝Fcosαs.
注意：这种方法只能用计算恒力做功（轨迹可以是直线也可以是曲线）
例3．如图所示，质量为m的物体，静止在倾角为α的粗糙的斜面体上，当两者一起向右匀速直线运动，位移为S时，斜面对物体m的弹力做的功是多少？物体m所受重力做的功是多少？摩擦力做功多少？斜面对物体m做功多少？
解析：物体m受力如图所示，m有沿斜面下滑的趋势，f为静摩擦力，位移S的方向同速度v的方向．弹力N对m做的功W1＝N•scos（900＋α）＝－ mgscosαsinα，
重力G对m做的功W2＝G•s cos900=0．摩擦力f对m做的功W3=fscosα=mgscosαsinα．斜面对m的作用力即N和f的合力，方向竖直向上，大小等于mg（m处于平衡状态），则： w＝F合scos900＝mgscos900＝o
答案：－ mgscosαsinα，0， mgscosαsinα，0
点评：求功，必须清楚地知道是哪个力的功，应正确地画出力、位移，再求力的功．

2、多个力的总功求解
①用平行四边形定则求出合外力，再根据w＝F合scosα计算功．注意α应是合外力与位移s间的夹角．
②分别求各个外力的功：W1＝F1 scosα1， W2=F2scosα2……再求各个外力功的代数和．
例4．物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平右的恒力Fl，经ts后撤去F1，立即再对它施一水平向左的恒力F2，又经ts后物体回到原出发点，在这一点过程中，Fl、F2分别对物体做的功W1、W2间的关系是（）
A. W1 = W2 ；B. W2＝2 W1； C. W2＝3W1；D. W2=5 W1 ；
【解析】认为F1和F2使物体在两段物理过程中经过的位移、时间都相等，故认为W1 = W2而误选A;
而认为后一段过程中多运动了一段距离而误选B。这都反映了学生缺乏一种物理思想：那就是如何架起两段物理过程的桥梁？很显然，这两段物理过程的联系点是“第一段过程的末速度正是第二段过程的初速度”。由于本题虽可求出返回时的速度，但如果不注意加速度定义式中ΔV的矢量性，必然会出现错误，错误得到其结果v2＝0，而误选A,其原因就是物体的运动有折返。
解法1：如图,A到B作用力为F1，BCD作用力为F2,由牛顿第二定律F=ma，及匀减速直线运动的位移公式S=vot－½at2,匀加速直线运动的速度公式v0=at，设向右为正，AB=S，可得：
一S＝v0t－½a2t2=（a1t）t－½a2t2，S=0＋½a1t2；∴－½a1t2=a1t2－½a2t2；即
∴F2=3 F1
A 到 B过程F1做正功，BCB/过程F2的功抵消，B/到D过程F2做正功，即W1＝F1 S, W2=F2S，∴W2＝3W1,
解法2：设F2的方向为正方向，F1作用过程位移为S，F1对物体做正功，由动能定理：F1S=½mv12。
在F2作用的过程中，F2的位移为一S，与F2同向，物体回到出发点时速度为v2，由动能定理得：F2S=½mv22－½mv12。 由牛顿第二定律得 ．∴v2＝2v1，∴W2＝3W1
拓展：若该物体回到出发点时的动能为32J，则Fl、F2分别对物体做的功W1、W2是多少？
由动能定理得：ΔE= W1＋W2=32J，W1/W2= F1/F2，∴W1=8J；W2=24J。
3、变力做功问题
①W＝F•scosα是用计算恒力的功，若是变力，求变力的功只有通过将变力转化为恒力，再用W＝Fscosα计算．
例5． 如图19-B-2所示，用恒力F拉绳，使物体沿水平地面从A点移动到B点，AB=s图中αβ已知（绳不可伸长；不计绳滑轮质量和滑轮摩擦）求F对物体做的功。
②有两类不同的力：一类是与势能相关联的力，比如重力、弹簧的弹力以及电场力等，它们的功与路径无关，只与位移有关或者说只与始末点的位置有关；另一类是滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或往返运动时，这类力（大小不变）的功等于力和路程（不是位移）的积．
例6．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为ｈ，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为 ( )
A.．零 B．－Fh C．Fh D．－2 Fh?
（功的公式中F是恒力，W功是标量，本题中F是恒力还是变力？考查学生的理解和应变能力。）

③根据功和能关系求变力的功．如根据势能的变化求对应的力做的功，根据动能定理求变力做的功，等等．
④根据功率恒定，求变力的功，W=Pt.
⑤求出变力F对位移的平均力计算，当变力F是位移s的线性函数时，平均力 ．
例7、 如图3所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的弹簧左端固定 在竖直墙上，右端系着一小球，弹簧处于自然状态时，小球位于O点，今用外力压缩弹簧，使其形变量为x，当撤去外力后，求小球到达O点时弹簧的弹力所做的功。
练习2：某人用竖直向上的力匀速提起长为L、质量为m的置于地面上的铁链，求将铁链从提起到刚提离地面时，提力所做的功？

⑥作出变力F随位移，变化的图象，图象与位移轴所围均“面积”即为变力做的功．
量为:
例8.(08宁夏理综18)一滑块在水平地面上沿直线滑行,t=0时其速度为1 m/s.从此刻开始滑块运动方向上再施加一水平面作用力F,力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图a和图b所示。设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3,则以下关系式正确的是（ ）
A. W1=W2=W3 B.W1<W2<W3C. W1<W3<W2D. W1=W2<W3
答案 B
解析 由v-t图象可知第1秒内、第2秒内、第3秒内的力和位移均为正方向,

所以：W1〈W2〈W3.
4、作用力和反作用力的做功
作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做负功，不要以为作用力与反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功数值相等，一正一负．所以作用力与反作用力做功不一定相等，但冲量的大小相等．
例9．以下说法正确的是（ ）
A．摩擦力可以对物体做正功 B．摩擦力可以使物体的速度发生变化，但对物体不做功
C．作用力与反作用力做功一定相等 D．一对平衡力做功之和为零
解析：A．摩擦力可以对物体做正功，只要摩擦力的方向与物体运动方向相同，摩擦力就做正功．摩擦力可以改变物体的速度，对物体有一个冲量作用，但物体在力的方向上没有位移，因而不做功，如随圆板一起转动的物体．由此可以认识到：力对物体有冲量，但不一定对物体做功，相反只要力对物体做功，一定会有冲量．又可进一步认识：力使物体动量发生变化，其动能不一定变化；但力使物体动能发生变化时，其动量一定发生变化．c．作用力与反作用力做功不一定相等，如一炸弹炸成质量为m与 2 m的两块，根据动量守恒mv1=2mv2， 则v1=2v2，作用力和反作用力做功为W1=½m(2v2)2与W2=½mv22，所以不相等。可认识到：作用力和反作用力产生的冲量总是大小相等，但做功可能不相等．D．一对平衡力合力为零，所以二力合力做功为零．答案：ABD
5．摩擦力的做功
A、静摩擦力做功的特点
（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能．
（3）相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。
B．滑动摩擦力做功的特点
如图所示，上面不光滑的长木板，放在光滑的水平地面上，一小木块以速度V0从木板的左端滑上木板，当木块和木板相对静止时，木板相对地面滑动了S，小木块相对木板滑动了d，则由动能定理知：
滑动摩擦力对木块所做功为： W木块=一f（d＋S）……①
滑动摩擦力对木板所做功为： W木板=fs……②
所以，木块动能增量为： ΔE木块=一f（d＋s）……③
木板动能增量为： ΔE木板=fs………④
由③④得：ΔE木块＋ΔE木板=一fd………⑤
⑤式表明木块和木板组成的系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对木板的位移的乘积。这部分减少的能量转化为内能。
故滑动摩擦力做功有以下特点：
1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。
2）一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能。转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。
3）滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往返运动时等于力和路程（不是位移）的乘积
例10．如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是（ ）
A．W1＞W2 B．W1＝W2 C． W3＝ 0 D． W3＝W1＋W2
解析：求某一力对物体所做的功值有多种思路，对于恒力（大小、方向均不变的力）做功的情况，通常由w＝Fscosα求解．对于变力（特别是方向发生变化的力）做功的情况，一般由功能转换关系求解．对于后一种思路，一定要正确判断哪些力做功，在外力做功的过程中，物体（或系统）的能量如何发生变化，变化了多少．
小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反，做负功，而小球在水平面内的圆周运动的向心力是由外管壁对小球的弹力N提供的，由于转动半径R始终不变，摩擦力对小球做负功，小球运动的速率逐渐减小，向心力减小即N减小，而f＝μN，滑动摩擦力f也减小，即由下列关系：
N=Fn=mv2/R m，R不变，v减小，则N减小，
f＝μN N减小，则f减小
W=－fπR f减小，则W减小
所以W1＞W2
W1．W2都为负功，因此W3＝W1＋W2．答案：AD
例11．如图所示，PQ是固定在水平桌面上的固定挡板，质量为m的小木块N从靠近P以一定的初速度向Q运动，已知物块与桌面间的动摩擦因数为μ，P与Q相距为s，物块与Q板碰撞n次后，最后静止于 PQ的中点，则整个过程摩擦力所做的功为多少？（n为自然数）
解析：物块与Q板碰撞n次后，最后停在PQ中点，会有两种可能，一种可能是与Q板碰后向P板运动至中点而停止，设与Q板碰撞n次，则物体运动的路程为（2n一 ）s，摩擦力所做的功为Wf1=μmg（2n一 ）s
第二种可能是物块与Q板碰后再与P板碰撞向Q板运动至中点而停止，在这种情况下，物体运动的路程为（2n＋ ）s ，摩擦力所做的功为 Wf2= μmg（2n＋ ）s，两种情况下，摩擦力对物体均做负功。
扩展与研究：两类不同的力，一类是与势能相关的力，如重力、弹簧的弹力、电场力等，它们的功与路程无关系，只与位移有关。另一类是滑动摩擦力，空气阻力等，这类力做功与物体的运动路径有关。在上例中，滑动摩擦力是一个变力，方向在变化，可转化为恒力做功，同时滑动摩擦力做功要看物体运动的路程，这是摩擦力做功的特点，必须牢记。
点评：求功的思路共有四条:（1）由功的定义．恒力做功；（2）由能量关系求解；（3）由功率的定义；（4）由动能定理求解．

后作业
1．讨论力F在下列几种情况下做功的多少．
（1）用水平推力F推质量是m的物体在光滑水平面上前进了s．
（2）用水平推力F推质量为2m的物体沿动摩擦因数为μ的水平面前进了s．
（3）斜面倾角为θ，与斜面平行的推力F，推一个质量为2m的物体沿光滑斜面向上推进了s．（ ）
A．（3）做功最多 　 B．（2）做功最多 C．做功相等 　　　 D．不能确定
2．如图4-1-10所示，两个物体与水平地面间的动摩擦 因数相等，它们的质量也相等．在甲图用力 拉物体，在乙图用力 推物体，夹角均为 ，两个物体都做匀速直线运动，通过相同的位移．设 和 对物体所做的功为 和 ，物体克服摩擦力做的功为 和 ，下面哪组表示式是正确的（）
A． B．
C． D．

2．如图19-B-3，物体以一定的初速度沿水平面，由A点滑到B点，摩擦力做功为W1，若该物体从A/沿两斜面滑到B/。摩擦力做功为W2，已知物体与各接触面的滑动摩擦系数均相同，则：( )
A．W1=W2 B.W1>W2 C．W1<W2D．不能确定
3．（93年全国高考题）小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平面上，如图19-A-1，从地面上看在物块沿斜面下滑的过程中，斜面对物块的作用力（ ）
A.垂直于继承面，做功为零
B.垂直于接触面，做功不为零
C.不垂直于接触面，做功为零
D.不垂直于接触面，做功不为零
（由于运动具有相对性，所以要注意物块相对地面的位移的方向。）
4． 关于摩擦力对物体做功，说法正确的是( )
A.滑动摩擦力总是做负功?
B.滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功?
C.静摩擦力对物体一定做负功?
D.静摩擦力对物体总是做正功
5．如图19-A-4所示，电梯与水平地面成θ角，一人站在电梯上，电梯从静止开始匀加速上升，到达一定速度后再匀速上升．若以N表示水平梯板对人的支持力，G为人受到的重力，f为电梯对人的静摩擦力，则下列结论正确的是 ( )
A．加速过程中f≠0，f、N、G都做功
B．加速过程中f≠0，N不做功
C．加速过程中f＝0，N、G都做功
D．匀速过程中f＝0，N、G都不做功
（该题综合考查牛顿运动定律和功的知识）
6. 如图19-B-4所示，木块A放在木块B的左上端，用恒力F将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做的功为W1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，F做的功为W2，比较两次做功，应有： ( )
A．W1<W2 B．W1=W2C．.W1>W2D．无法比较
7. 如图19-B-5所示，站在汽车的人用手推车的力为F，脚对车向后的摩擦力为f，当车向前运动时以下说法正确的是 ( )
A.当车匀速运动时，F和f对车做功的代数和为零
B.当车加速运动时，F和f对车做的总功为负功
C.当车减速运动时，F和f对车做的总功为正功
D.不管车做何种运动，F和f对车做功的总功率都为零
8．一个倾斜放置的皮带运输机工作稳定后，将一物体 缓慢放在运动的皮带上，最终物体由A位置移到B位置（如图19-B-7）。在这段过程中，物体所受各力中： ( )
A．只有摩擦力做正功B．摩擦力一定做负功
C．重力一定做正功 D．重力一定做负功

第二节 功率
基础知识
一、功率的定义: 功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率，它表示物体做功的快慢．
二、单位：瓦（w），千瓦（kw）；
三、功率是标量
四、公式:P＝W／t＝Fv
1．P＝W／t 所求的是这段时间内平均功率．
2．P＝Fv当v为平均值时为平均功率，当v为即时值时为即时功率．
3．P＝Fv应用时，F、v必须同向，否则应分解F或v，使二者同向．这里的P=Fv实际上是Fvcosθ、θ为F、v夹角．
4．我们处理问题时必须清楚是哪一个力的功率，如一个机械的功率为P，这里指的是牵引力的功率，不可认为是机械所受合外力的功率．
五、发动机铭牌上的功率，是额定功率，也就是说该机正常运行时的最大输出功率，该机工作时输出功率要小于或等于此值．

规律方法 1、功率的计算方法
例1．如图所示，质量为lkg的物体与平面间摩擦系数μ=0．l（g取10m／s2），在2 N水平拉力作用下由静止开始运动了2s，求这段时间内拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即时功率各为多少？
解析：a= =1m／s2．s＝½at2＝2m． v＝at＝2m/s
外力 F做功功率．平均值为：p1＝W/t=Fs/t=2W 2s末即时功率为：P1/=Fv＝4 W
摩擦力做功功率．平均值：P2=fs/t=1W 2 s末即时功率为：P2/=fv= 2 W
重力与支持力N由P=Fvcosθ知：功率都为0．
答案：外力F平均功率和即时功率分别为2W、4W；摩擦力平均功率和即时功率分别为1W、2W；重力和支持力功率都为0．
点评：（1）明确是什么力做功功率； （2）清楚是平均功率还是即时功率．
例2．如图所示，质量为m的物体沿高为h的光滑斜面滑下到达底端时重力的即时功率为多少？
错解：由机械能守恒定律可知到达底端速度v= ，所以此时功率P＝mgv=mg ：提示：这里没有注意到mg与v的夹角，应当为P= mgsinθ 点评：做题时注意力跟速度的夹角．
例3．一个小孩站在船头，按应当为图5—15两种情况用同样大小力拉绳，经过相同的时间t（船未碰撞），小孩所做的功W1、W2及在时间t内小孩拉绳的功率 P1、P2的关系为（ ）
A．W1＞W2，P1= P2 B．W1＝W2，P1＝P2
C．W1＜W2，P1＜P2 D．W1＜W2，P1= P2
提示：两种情况中拉力对人做的功一样，第二种情况拉力除对人做功外，又对另一只小船也做了功，所以W2＞W1．由于所用时间一样，所以P2＞P1． 答案：C
点评：应弄清哪一个力对哪一个物体做功，其功率是什么
2、两种功率
例4、质量为2千克的物体做自由落体运动。在下落过程中，头2秒内重力的功率是________J，第2秒末重力的功率是 ，第2秒内重力的功率是_________W。(g取10m/s2)

例5．从空中以10m/s的初速度平抛一个质量为1kg的物体，物体在空中运动了3s后落地，不计空气阻力，取g=10m/s，求物体3s内重力的平均功率和落地时的瞬时功率。

例6．（1994年上海高考题）跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是50kg，他一分钟跳绳180次。假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的2/5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是 （g取10m/s2）
解析：把运动员每次跳跃转换成质点做竖直上抛运动模型。每次跳跃总时间
T＝60/180＝1/3s． 每次腾空的时间t= （l一 ）=0．02s。
每次腾空高度 h=½g（t/2）2=½×10×（0．02/2）2＝0．05m。
每次腾空上升时克服重力做的功 W=mgh=50×10×0．05＝25J。
把每次跳跃总时间T内的触地过程、下落过程舍弃，简化成在T内就是单一竖直上升克服重力做功的过程，故可解出 P＝W/T＝25／（1/3）=75 W。
点评：综上所述不难发现，灵活地转换物理模型是一种重要的物理思想方法。学会这种方法，就会使我们在解决物理问题时变得从容自如，巧解速解物理问题，从而提高学习的效率。
例7．若某人的心脏每分钟跳动75次，心脏收缩压为135mmHg（lmmHg＝133．322Pa）收缩一次输出血量平均为70ml，那么心脏收缩时的平均功率有多大？
解析：心脏收缩一次做功：W=P•ΔV
∵P=135mmHg＝1．8×104Pa ΔV＝70ml＝7×10－5m3
∴W＝1．8×104Pa×7×10－5m3＝1．26J ∴每分钟，心脏做功W/=75×1．26=94．5J
∴心脏收缩时平均功率为 =94．5/60=1．6W
3、汽车起动问题分析
（1）以恒定功率起动： 汽车从静止开始以额定功率起动，开始时由于汽车的速度很小，由公式P=Fv知：牵引力F较大，因而由牛顿第二定律F-f=ma知，汽车的加速度较大．随着时间的推移，汽车的速度将不断增大，牵引力F将减小，加速度减小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽车的速度仍在不断增大，牵引力将继续减小，直至汽车的牵引力F和阻力f相平衡为止． 汽车的牵引力F和阻力f平衡时，F-f=0，加速度a＝0，汽车的速度达到最大值vm ．汽车的运动形式是做加速度越越小的变加速直线运动，最终做匀速直线运动．其速度-时间图像如图所示．
(2) 由于牵引力F恒定，根据牛顿第二定律F-f=ma，可知：加速度a恒定，汽车作匀加速直线运动，随着时间的推移，实际功率将不断增大．由于汽车的实际功率不能超过其额定功率，汽车的匀加速直线运动只能维持到其实际功率等于其额定功率时，此时汽车的速度达到它匀加速直线运动阶段的最大速度v1m，其后汽车只能以额定功率起动的方式进行再加速，其运动方式和第一种起动形式完全相同．即汽车继续做加速度越越小的变加速直线运动，直至汽车进入匀速直线运动状态，速度达到最终的最大速度vm．汽车的起动过程经历了两阶段：一是匀加速直线运动阶段，二是变加速直线运动阶段，最终做匀速直线运动．其速度-时间图像如图4-1-4所示．

例8、额定功率为 的汽车在平直公路上行驶时，其最大速度可达到 ，汽车的质量为 。如果从静止开始做匀加速运动，设运动中阻力不变，加速度为 ，求：
（1）汽车所受阻力；（2）这个匀加速过程能维持多长时间；
（3）第3秒末汽车的瞬时功率；（4）汽车做匀加速运动过程中，发动机做的功。

例9．一辆汽车在平直的公路上以速度v0开始加速行驶，经过一段时间t，前进了距离s，此时恰好达到其最大速度Vm.设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力恒定为F，则在这段时间里，发动机所做的功为（ ）
A、Fvmt；B、Pt；C、½mvm2＋Fs－½mv02；D、 ；
解析：汽车在恒定功率作用做变牵引力的加速运动，所以发动机做功为变力做功，根据P=W/t可求得W=Pt，而P=F/v=Fvm，所以W= Fvm t；根据能量守恒：W＋½mv02=½mvm2＋Fs
所以W=½mvm2＋Fs－½mv02；答案：ABC
思考：为何用 得到 不正确？错在哪里？

4、实际问题中的功率
例10．推动节水工程的转动喷水“龙头”。如图所示，龙头距地面h，其喷灌半径可达10h，每分钟喷水质量为m，所用水从地面下H的井中抽取，设水以相同的速率喷出，水泵的效率为η，水泵的功率P至少多大？
解析:水泵对水做功，用增大水的重力势能和动能．
设水喷出时速度为v，则h=½gt2,10h=vt;解得
每分钟内水泵对水做的功W＝mg（H＋h）＋½mv2=mg(H+26h)，又W=ηPt,∴

后作业
1、一辆汽车从静止开始做加速直线运动，运动过程中汽车牵引力的功率保持不变，所受阻力恒定，行驶2min速度达到10m/s，那么该汽车在这段时间内行驶的距离为
A、一定大于600m B、一定小于600m
C、一定等于600m D、可能等于1200m
2、（1998年上海市高考题）人的心脏每跳一次大约输送体积8×10－5m3的血液，正常人的血压为1.5×104Pa。若某人心跳70次/分钟，则他的心脏工作的平均功率多大？
3、（1994年上海市高考题）某运动员质量50kg，一分钟跳绳180次，每次跳跃中脚与地面接触时间为一次跳跃时间的2/5，则该运动员跳绳是克服重力做功平均功率为多少。
4、（2008北京卷23题）风能将成为21世纪大规模开发的一种可再生清洁能。风力发电机是将风能（气流的动能）转化为电能的装置，其主要部包括风轮机、齿轮箱、发电机等，如图所示。风轮机叶片旋转所扫过的面积为风力发电机可接受风能的面积。设空气密度为ρ，气流速度为v，风轮叶片长度为r。求单位时间内流向风轮机的最大风能Pm

5、汽车在平直公路上做加速运动, 下列说法中正确的是
A．若汽车运动的加速度不变,则发动机的功率不变.
B．若汽车运动的加速度不变,则发动机的功率不断增大.
C．若汽车发动机的功率不变, 则汽车运动的加速度不变.
D．若汽车发动机的功率不变, 则汽车运动的加速度不断减小.
6、质量为 m 的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P,且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速 为v/4时，汽车的瞬时加速度的大小为
A、P/mv　　　 B、2P/mv　　 C、3P/mv　　 D、4p/mv
7、质量为2千克的物体做自由落体运动。在下落过程中，头2秒内重力的功率是________J，第2秒内重力的功率是_________W。(g取10m/s2)
8、升降机吊起重为1.4×104N的货物，货物以0.5m/s的速度匀速上升。这时升降机提升货物做功的功率是____________W。

第三节 动能 动能定理
基础知识一、动能
如果一个物体能对外做功，我们就说这个物体具有能量．物体由于运动而具有的能． Ek＝½mv2，其大小与参照系的选取有关．动能是描述物体运动状态的物理量．是相对量。
二、动能定理
做功可以改变物体的能量．所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量．
W1＋W2＋W3＋……＝½mvt2－½mv02
1．反映了物体动能的变化与引起变化的原因——力对物体所做功之间的因果关系．可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能的减小．所以正功是加号，负功是减号。
2．“增量”是末动能减初动能．ΔE＞0表示动能增加，ΔE＜0表示动能减小．
3、动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化．在动能定理中．总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等．
4．各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和．
5．力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式．但动能定理是标量式．功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解．故动能定理无分量式．在处理一些问题时，可在某一方向应用动能定理．
6．动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的．但它也适用于变为及物体作曲线运动的情况．即动能定理对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用．
7．对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照物．
三、由牛顿第二定律与运动学公式推出动能定理
设物体的质量为m，在恒力F作用下，通过位移为S，其速度由v0变为vt，
则：根据牛顿第二定律F=ma……① 根据运动学公式2as=vt2一v02……②
由①②得：FS=½mvt2－½mv02
四．应用动能定理可解决的问题
恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解一般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单的多．用动能定理还能解决一些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动等问题．
例1.如图所示，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为μ，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动，这过程中摩擦力对物体做功为多少？
解析：物体开始滑动时，物体与转台间已达到最大静摩擦力，这里认为就是滑动摩擦力μmg．
根据牛顿第二定律μmg=mv2/R……① 由动能定理得：W=½mv2 ……②
由①②得：W=½μmgR，所以在这一过程摩擦力做功为½μmgR
点评：（1）一些变力做功，不能用 W＝ FScosθ求，应当善于用动能定理．
（2）应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动状态过程中变化的细节，只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程．即可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待求出总功．计算时要把各力的功连同符号（正负）一同代入公式．
例2.如图所示，质量为m的铅球从离地面h的高处由静止开始下落，落到地面后陷入泥潭，下沉的深度是s，试求泥潭对铅球的平均作用力。
解法一：运动公式结合牛顿第二定律
解法二：分段用动能定理，引进中间速度
解法三：整段用动能定理
——一题多解，应用动能定理的基本思路和优势。

规律方法 1、动能定理应用的基本步骤
应用动能定理涉及一个过程，两个状态．所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能．
动能定理应用的基本步骤是：
①选取研究对象，明确并分析运动过程．
②分析受力及各力做功的情况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？求出代数和．
③明确过程始末状态的动能Ek1及E2
④列方程 W=E2一Ek1，必要时注意分析题目的潜在条，补充方程进行求解．
例3．一质量为lkg的物体被人用手由静止向上提升1m时物体的速度是 ，下列说法中错误的是(g取l0rn/s2)； (　　)
A．提升过程中手对物体做功12J
B．提升过程中合外力对物体做功12J
C．提升过程中手对物体做功２Ｊ
D．提升过程中物体克服重力做功l０J
练习1。在离地面高度为h处竖直向上抛出一个质量为m的物体，抛出时的速度为v0，当它落到地面时的速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力做的功为
A、 B、
C、 D、

例4. 2010•全国卷Ⅱ•24如图，NP 为整直面内一固定轨道，其圆弧段N与水平段NP相切于N、P端固定一竖直挡板。相对于N的高度为h，NP长度为s.一木块自端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞后停止在水平轨道上某处。若在N段的摩擦可忽略不计，物块与NP段轨道间的滑动摩擦因数为μ，求物块停止的地方与N点距离的可能值。

【答案】物块停止的位置距N的距离可能为 或
【解析】根据功能原理，在物块从开始下滑到停止在水平轨道上的过程中，物块的重力势能的减少 与物块克服摩擦力所做功的数值相等。
①
设物块的质量为m，在水平轨道上滑行的总路程为s′，则
②
③
连立①②③化简得
④
第一种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，在N前停止，则物块停止的位置距N的距离为
⑤
第一种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，可再一次滑上光滑圆弧轨道，滑下后在水平轨道上停止，则物块停止的位置距N的距离为
⑥
所以物块停止的位置距N的距离可能为 或 。
练习2、（2004年辽宁）如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处是一段与BC相切的圆弧，B、C为水平的，其距离d=0.50m。盆边缘的高度为h=0.30m。在A处放一个质量为m的小物块并让其从静止出发下滑。已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC因与小物块间的动摩擦因数μ=0.10。小物块在盆内回滑动，最后停下，则停的地点到B的距离为（ ）
A. 0.50m B. 0.25m C. 0.10m D. 0

： 解决由摩擦的往复运动，用动能定理很便捷。

2、应用动能定理的优越性
(1)由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制．
(2)一般说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷．可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解．可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识．
(3)用动能定理可求变力所做的功．在某些问题中，由于力F的大小、方向的变化，不能直接用W=Fscosα求出变力做功的值，但可由动能定理求解．

例5．如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则外力对物体所做的功的大小是:

解析:设当绳的拉力为F时，小球做匀速圆周运动的线速度为v1，则有F=mv12/R……①
当绳的拉力减为F/4时，小球做匀速圆周运动的线速度为v2,则有F/4=mv22/2R……②
在绳的拉力由F减为F/4的过程中，绳的拉力所做的功为W=½mv22－½mv12=－¼FR
所以，绳的拉力所做的功的大小为FR/4,A选项正确．
说明:用动能定理求变力功是非常有效且普遍适用的方法．
练习3、如图所示，一质量为 的小球 ，用长为 的轻绳悬挂于 点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点，缓慢移动到Q点，则力F所做的功为（ ）
A． B． C． D．
3、应用动能定理要注意的问题
注意1．由于动能的大小与参照物的选择有关，而动能定理是从牛顿运动定律和运动学规律的基础上推导出，因此应用动能定理解题时，动能的大小应选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体作参照物确定．
例6．如图所示质量为1kg的小物块以5m/s的初速度滑上一块原静止在水平面上的木板，木板质量为4kg，木板与水平面间动摩擦因数是0.02，经过2S以后，木块从木板另一端以1m/s相对于地的速度滑出，g取10m／s，求这一过程中木板的位移．
解析：设木块与木板间摩擦力大小为f1，木板与地面间摩擦力大小为f2．
对木块：一f1t=mvt一mv0，得f1=2 N
对木板：（fl－f2）t＝v,f2＝μ（m＋ ）g
得v＝0．5m/s 对木板：（fl－f2）s=½v2，得 S=0•5 m 答案：0．5 m
注意2．用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化，所以不能直接由W=Fscosα求出变力做功的值．此时可由其做功的结果——动能的变化求变为F所做的功．
例7．质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）
A.mgR/4 B. mgR/3 C. mgR/2 D.mgR
解析:小球在圆周运动最低点时,设速度为v1,则7mg－mg=mv12/R……①
设小球恰能过最高点的速度为v2,则mg=mv22/R……②
设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W,由动能定理得:－mg2R－W=½mv22－½mv12……③
由以上三式解得W=mgR/2. 答案：C
说明：该题中空气阻力一般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用，这往往是该类题目的特点．
4、动能定理的综合应用
动能定理和动量定理、动量守恒定律的综合应用是力学问题的难点，也是高考考查的重点，解决这类问题关键是分清哪一过程中动量守恒，哪一过程中应用动能定理、动量定理
例8．某地强风的风速约为v=20m/s,设空气密度ρ=1.3kg/m3,如果把通过横截面积=20m2风的动能全部转化为电能,则利用上述已知量计算电功率的公式应为P=_________,大小约为_____W(取一位有效数字)
Ek=子 P=
例9。两个人要将质量＝1000 kg的小车沿一小型铁轨推上长L＝5 m,高h＝1 m的斜坡顶端．已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0.12倍，两人能发挥的最大推力各为800 N.水平轨道足够长，在不允许使用别的工具的情况下，两人能否将车刚好推到坡顶？如果能应如何办？（要求写出分析和计算过程）（g取10 m/s 2）
解析:小车在轨道上运动时所受摩擦力f
f＝μg＝0.12×1000×10N=1200 N
两人的最大推力F＝2×800 N＝1600 N
F＞f,人可在水平轨道上推动小车加速运动，但小车在斜坡上时f＋gsinθ＝1200 N＋10000•1/5N＝3200 N＞F=1600 N
可见两人不可能将小车直接由静止沿坡底推至坡顶．
若两人先让小车在水平轨道上加速运动，再冲上斜坡减速运动，小车在水平轨道上运动最小距离为s
（F一f）s十FL一fL一gh=0

答案:能将车刚好推到坡顶，先在水平面上推20 m，再推上斜坡．
例10、（2010金华模拟）如图，质量为m的小球用长为L的轻质细绳悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP=L/2，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B。则：
（1）小球到达B点时的速率？
（2）若不计空气阻力，则初速度v0为多少？
（3）若初速度v0=3gL ，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？

例11、（2008年西城二模，22）

后作业
1、（03上海）一个质量为0.3kg的弹性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反的方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞前后小球速度的变化量△v和碰撞过程中墙对小球的做功的大小W为
A、△v=0 B、△v=12m/s
C、 W=0 D、W=10.8J
2、如图所示，光滑水平桌面上开了一个小孔，穿一根细绳．绳一端系一个小 球，另一端用大小为F的力拉绳，维持小球在水平面上作半径为r的匀速圆周运动．现在缓慢地拉绳，使圆周半径逐渐减小．当拉力变为8F时，小球运动半径变为r/2在此过程中拉力对小球所做的功是（ ）
A．零B． C． D．
3、（04北京）被竖直上抛的物体的初速度与回到抛出点时速度大小之比为 ，而空气阻力在运动过程中大小不变，则重力与空气阻力的大小之比为 （ ）
A． B． C． D．
4、（2000年全国高考题）如图所示，DO是水平面，AB是斜面。初速度为 的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零；如果斜面改为AC，让物体从D点出发刚好能沿DCA滑到A点，则物体具有的初速度（已知物体与路面间的动摩擦因数处处相同且不为零，不计转折点B点或C点的机械能损失）（ ）
A． 大于 B． 等于
C． 小于 D．取决于斜面的倾角
5、质量为 的汽车发动机的功率恒为 ，摩擦阻力恒为 ，牵引力为 。汽车由静止开始，经过时间 行驶了位移 时，速度达到最大值 ，则发动机所做的功为 （ ）
A． B． C． D．
6、如图所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，从距挡板为s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行.设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足够长.求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s.

7、如图所示，质量为m的小球由光滑斜轨道自由下滑后，接着又在一个与斜轨道相连的竖直的光滑圆环内侧运动，阻力不计，求：⑴小球至少应从多高的地方滑下，才能达到圆环顶端而不离开圆环 ⑵小球到达圆环底端时，作用于环底的压力

8、质量为m的物块从高为h的斜面上的A处下滑，又在同样的水平面上滑行S后静止于B处。已知斜面的倾角为θ，物块由斜面到水平面时圆滑过渡。求物块与接触面间的动摩擦因数。

9、某人质量为m，从平台上跳下，下落2m后双脚触地，接着曲腿使重心下降0.5m，问脚受到的地面的作用力是重力的多少倍？

10、一小球从H高处由静止下落，与地面碰后又弹起。如球与地面碰撞时无机械能损失，球下落和上升过程中所受空气阻力都是球重的0.2倍，那么球由开始下落到最后静止总共通过的路程是多少？
11、质量为m=1kg的木块静止在高h=1.2m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数μ=0.2，用水平推力F=20N使木块产生位移L1=3m，之后撤去推力，木块又滑行L2=1m飞出平台，求木块落地时速度的大小？

12．质量 的物体以50J的初动能在粗糙的水平地面上滑行， 其动能与位移关系如图4－2－8所示，则物体在水平面上的滑行时间 为( 　 )
A． B． C． D．2s

第四节 机械能守恒定律
基础知识
一、重力势能
1．由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能叫做势能．如重力势能、弹性势能、电势能等．
（1）物体由于受到重力作用而具有重力势能，表达式为 EP= mgh．式中h是物体到零重力势能面的高度．
（2）重力势能是物体与地球系统共有的．只有在零势能参考面确定之后，物体的重力势能才有确定的值。重力势能的负号不表示方向，表示比零势能参考面的势能小，显然零势能参考面选择的不同，同一物体在同一位置的重力势能的多少也就不同，所以重力势能是相对的．通常在不明确指出的情况下，都是以地面为零势面的．但应特别注意的是，当物体的位置改变时，其重力势能的变化量与零势面如何选取无关．在实际问题中我们更会关心的是重力势能的变化量．
（3）．重力势能的变化与重力做功的关系：重力做正功，重力势能就减少；重力做负功，或者物体克服重力做功，重力势能就增加
重力做的功等于重力势能减少量 WG=ΔEP减=EP初一EP末
特别应注意：重力做功只能使重力势能与动能相互转化，不能引起物体机械能的变化．
二、弹性势能：
1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能量．
2．弹性势能的变化与弹力做功的关系，与重力势能的变化与重力做功的关系相类似：弹力做正功，物体的弹性势能就减少；弹力做负功，或者叫外力克服弹力做功，物体的弹性势能就增加．（说明：物体的弹性势能的大小与物体的、发生弹性形变的大小等有关．）
弹簧弹力做的功等于弹性势能减少量
三、机械能：动能和势能统称机械能，即：机械能=动能＋重力势能＋弹性势能
例1．如图所示，桌面高地面高H，小球自离桌面高h处由静止落下，不计空气阻力，则小球触地的瞬间机械能为（设桌面为零势面）（ ）
A．mgh； B．mgH；C．mg（H＋h）； D．mg（H－h）
解析：这一过程机械能守恒，以桌面为零势面，E初=mgh，所以着地时也为mgh，有的学生对此接受不了，可以这样想，E初=mgh ，末为 E末=½mv2－mgH，而½mv2=mg（H＋h）由此两式可得：E末=mgh 答案：A
四、机械能守恒定律
1、内容：在只有重力（或系统内弹力）做功的情形下，物体的重力势能（或弹性势能）和动能发生相互转化，但总的机械能保持不变。
2.机械能守恒的条
（1)对某一物体，若只有重力（或弹簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体机械能守恒．
(2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒．
3．表达形式：E1＋Epl=Ek2＋EP2
（1）我们解题时往往选择的是与题目所述条或所求结果相关的某两个状态或某几个状态建立方程式．此表达式中EP是相对的．建立方程时必须选择合适的零势能参考面．且每一状态的EP都应是对同一参考面而言的．
（2）其他表达方式，ΔEP=一ΔE，系统势能的增量等于系统动能的减少量．
（3）ΔEa=一ΔEb，将系统分为a、b两部分，a部分机械能的增量等于另一部分b的机械能的减少量，
三、判断机械能是否守恒
首先应特别提醒注意的是，机械能守恒的条绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．
（1)用做功判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒；
(2）用能量转化判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系机械能守恒．
（3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除非题目的特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能不守恒
（4）大多数情况下匀速运动不守恒，有摩擦不守恒
例2．对一个系统，下面说法正确的是（ ）
A．受到合外力为零时，系统机械能守恒
B．系统受到除重力弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒
C．只有系统内部的重力弹力做功时，系统的机械能守恒
D．除重力弹力以外的力只要对系统作用，则系统的机械能就不守恒
解析：A，系统受到合外力为零时，系统动量守恒，但机械能就不一定守恒， 答案：C
【例3】如图所示，在光滑的水平面上放一质量为＝96．4kg的木箱，用细绳跨过定滑轮O与一质量为m=10kg的重物相连，已知木箱到定滑轮的绳长AO＝8m，OA绳与水平方向成300角，重物距地面高度h=3m，开始时让它们处于静止状态．不计绳的质量及一切摩擦，g取10 m／s2，将重物无初速度释放，当它落地的瞬间木箱的速度多大？
解析：本题中重物m和水箱动能均于重物的重力势能，只是m和的速率不等．
根据题意，m，和地球组成的系统机械能守恒，选取水平面为零势能面，有mgh＝½mv ＋½v
从题中可知，O距之间的距离为 h/＝Oasin300＝4 m
当m落地瞬间，OA绳与水平方向夹角为α，则cosα= =4/5
而m的速度vm等于v沿绳的分速度，如图5—55所示，则有 vm＝vcosα
所以，由式①一③得v= m/s 答案： m/ s
四．机械能守恒定律与动量守恒定律的区别：
动量守恒是矢量守恒，守恒条是从力的角度，即不受外力或外力的和为零。机械能守恒是标量守恒，守恒条是从功的角度，即除重力、弹力做功外其他力不做功。确定动量是否守恒应分析外力的和是否为零，确定系统机械能是否守恒应分析外力和内力做功，看是否只有重力、系统内弹力做功。还应注意，外力的和为零和外力不做功是两个不同的概念。所以，系统机械能守恒时动量不一定守恒；动量守恒时机械能也不一定守恒。
例4。如图所示装置，木块B与水平面的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在子弹射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中（ ）
A．动量守恒、机械能守恒 B．动量不守恒，机械能不守恒
C．动量守恒、机械能不守恒 D．动量不守恒、机械能守恒
解析：在力学中，给定一个系统后，这个系统经某一过程兵动量和机械能是否守恒，要看是否满足动量守恒和机械能守恒条．在这个过程中，只要系统不受外力作用或合外力为零（不管系统内部相互作用力如何）动量必然守恒．但在子弹、木块、弹簧这个系统中，由于弹簧的压缩，墙对弹簧有作用力，所以水平合外力不等于零，系统动量不守恒，若选取子弹，木块为系统，在子弹射入木块过程中，因t很短，弹簧还不及压缩，或认为内力远大于外力（弹力），系统动量守恒．在这个过程中，外力 F、N、 mg不做功．系统内弹力做功，子弹打入木块的过程中，有摩擦力做功，有机械能向内能转化．因此机械能不守恒（若取子弹打入B后，A、B一起压缩弹簧的过程，系统只有弹力做功，机械能守恒）．答案：B
由上述分析可知，判定系统动量，机械能是否守恒的关键是明确守恒条和确定哪个过程．
例5。两个完全相同的质量均为m的沿块A和B，放在光滑水平面上，滑块A与轻弹簧相连，弹簧另一端固定在墙上，当滑块B以v0的初速度向滑块A运动时，如图所示，碰A后不再分开，下述正确的是（ ）
A．弹簧最大弹性势能为½mv02 B．弹簧最大弹性势能为¼mv02
C．两滑块相碰以及以后一起运动系统机械能守恒
D．两滑块相碰以及以后一起运动中，系统动量守恒
解析：两滑决的运动应分两阶段，第一阶段两滑决相碰，由于碰后两滑块一起运动，有部分机械能转化为内能．机械能不守恒，但动量守恒．因此有： mv0=（m十m）v 所以v=½v0
第二阶段，两滑块一起在弹簧力作用下回振动，此时只有弹簧力做功，机械能守恒．但在此过程系统外力冲量不为零，系统动量不守恒，因此有： EP＋½（m＋m）v2/2=½（m＋m）v2
所以弹性势能最大为v/2＝0时，所以EP =¼mv ． 答案：B
五.机械能守恒定律与动能定理的区别
机械能守恒定律反映的是物体初、末状态的机械能间关系，且守恒是有条的，而动能定理揭示的是物体动能的变化跟引起这种变化的合外力的功间关系，既关心初末状态的动能，也必须认真分析对应这两个状态间经历的过程中做功情况．
规律方法
应用机械能守恒定律解题的基本步骤
（1）根据题意选取研究对象（物体或系统）．
（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
（3）恰当地选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．
（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列式方程，若选用了增（减）量表达式，（3）就应成为确定过程中，动能、势能在过程中的增减量或各部分机械能在过程中的增减量列方程进行求解．
例6、在高度为h=0.8m的水平光滑桌面上，有一轻弹簧左端固定，质量为m=1.0kg的小球在外力作用下使弹簧处于压缩状态，当弹簧具有4.5J的弹性势能时，由静止释放小球，将小球水平弹出，如图，不计空气阻力，求小球落地时的速度大小？
先用守恒思想求小球被弹出的初速度
解一：用平抛知识解
解二：用动能定理
解三：用机械能守恒
解四：直接全过程对系统用机械能守恒，不求抛出时的初速度

1、单个物体在变速运动中的机械能守恒问题
例7。从某高处平抛一个物体，物体落地时速度方向与水平方向夹角为θ，取地面处重力势能为零，则物体落下高度与水平位移之比为 ．抛出时动能与重力势能之比为 ．
解析：设平抛运动的时间为 t，则落地时， gt=v0tanθ即 gt2＝v0ttanθ
所以 2h＝stanθ所以h/s=tanθ/2
由于落地的速度v=v0/cosθ 又因为½m v02十mgh=½mv2
所以mgh=½m v02/cos2θ－½mv02 所以½mv02/mgh=cot2θ
例8．如图所示，一个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中图轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点．一个质量为m的小球以初速度v0沿AB运动，刚好能通过最高点D，则（ ）
A．小球质量越大，所需初速度v0越大
B．圆轨道半径越大，所需初速度v0越大
C．初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关
D。小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v0
解析：球通过最高点的最小速度为v，有mg=mv2/R，v=
这是刚好通过最高点的条，根据机械能守恒，在最低点的速度v0应满足
½m v02=mg2R＋½mv2，v0= 答案：B
2、系统机械能守恒问题
例9．如图所示，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？
解析：铁链的一端上升，一端下落是变质量问题，利用牛顿定律求解比较麻烦，也超出了中学物理大纲的要求．但由题目的叙述可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光滑”提示我们无机械能与其他形式的能转化，则机械能守恒，这个题目我们用机械能守恒定律的总量不变表达式E2=El，和增量表达式ΔEP=一ΔE分别给出解答，以利于同学分析比较掌握其各自的特点．
（1）设铁链单位长度的质量为P，且选铁链的初态的重心位置所在水平面为参考面，则初态E1=0
滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4，EP/=－PLgL/4
Ek2=½Lv2即终态E2=－PLgL/4＋½PLv2
由机械能守恒定律得E2= E1有 －PLgL/4＋½PLv2=0，所以v=
（2）利用ΔEP=－ΔE，求解:初态至终态重力势能减少，重心下降L/4，重力势能减少－ΔEP= PLgL/4，动能增量ΔE=½PLv2，所以v=
点评（1）对绳索、链条这类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置对物体说，不是固定不变的，能否确定其重心的位里则是解决这类问题的关键，顺便指出的是均匀质量分布的规则物体常以重心的位置确定物体的重力势能．此题初态的重心位置不在滑轮的顶点，由于滑轮很小，可视作对折求重心，也可分段考虑求出各部分的重力势能后求出代数和作为总的重力势能．至于零势能参考面可任意选取，但以系统初末态重力势能便于表示为宜．
（2）此题也可以用等效法求解，铁链脱离滑轮时重力势能减少，等效为一半铁链至另一半下端时重力势能的减少，然后利用ΔEP=－ΔE求解，留给同学们思考．
例10、如图，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两只质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知AO=L，BO=2L。现在使细杆从水平位置由静止开始释放，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？

例11：如图，轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球。AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动，现将杆置于水平位置，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，试求：（1）AB杆转到竖直位置时，角速度ω多大？
（2）AB杆从水平转到竖直位置过程中，B端小球的机械能增量多大?

后作业
1、(2002春全国) 图四个选项中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的；图A、B中的力F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是（ ）

2、如图，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由a→b→c的运动过程中（ ）
A．小球和弹簧总机械能守恒
B．小球的重力势能随时间均匀减少
C．小球在b点时动能最大
D．到c点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
3. 一物体从高处匀加速下落，在下落过程中它的机械能（ ）
A．一定增加 B．一定减小
C．保持不变 D．条不足、无法确定

4．如图，斜面置于光滑的水平面上，其光滑斜面上有一物体由静止开始下滑，在物体下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体的重力势能减小，动能增加
B．物体的机械能不变
C．斜面对物体的支持力垂直于支持面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
5、如图所示,通过定滑轮悬挂两个质量为m1、m2的物体(m1>m2),不计绳子质量、绳子与滑轮间的摩擦,在m1向下运动一段距离的过程中,下列说法中正确的是 ( ). (A)m1势能的减少量等于m2动能的增加量 (B)m1势能的减少量等于m2势能的增加量 (C)m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量 (D)m1机械能的减少量大于m2机械能的增加量
4、长度为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，使其长度的L／4垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚离开桌边时的速度大小为多少？

第五节 功能问题的综合应用
基础知识 一、功能关系
1．能是物体做功的本领．也就是说是做功的根．功是能量转化的量度．究竟有多少能量发生了转化，用功量度，二者有根本的区别，功是过程量，能是状态量．
2．我们在处理问题时可以从能量变化求功，也可以从物体做功的多少求能量的变化．不同形式的能在转化过程中是守恒的．
3、功和能量的转化关系
①合外力对物体所做的功等于物体动能的增量． W合=Ek2一Ek1（动能定理）
②只有重力做功（或系统内弹力）做功，物体的动能和势能相互转化，物体的机械能守恒。
③重力功是重力势能变化的量度,即WG=－ΔEP重＝一（EP末一EP初) =EP初一EP末
④弹力功是弹性势能变化的量度，即：W弹＝一△EP弹＝一（EP末一EP初) =EP初一EP末
⑤除了重力，弹力以外的其他力做功是物体机械能变化的量度，即：W其他=E末一E初
⑥一对滑动摩擦力对系统做总功是系统机械能转化为内能的量度，即：f•S相＝Q
⑦电场力功是电势能变化的量度，即：WE=qU=一ΔE =-(E末一E初）=E初一E末
例1。在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠，需要做多少功？
解析：这是一道非常典型变质量与做功的题，很多同学不知怎样列功能关系式才求出功的大小，我们先画清楚草图．根据功能关系可知：只要找出砖叠放起时总增加的能量 ΔE，就可得到W人＝ΔE，而ΔE＝E末－E初=nmgnh/2－nmgh/2=n（n－1）mgh/2
因此，用“功能关系”解题，关键是分清物理过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，列出这些变化了的能量即可．
答案：n（n－1）mgh/2
4、对绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除题目特别说明，必定有机械能损失，碰撞后两物体粘在一起的过程中一定有机械能损失。
二、能的转化和守恒
能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式的能转化为另一种形式的能，或者从一个物体转移到另一个物体，能的总量保持不变。
1．应用能量守恒定律的两条思路：
（1）某种形式的能的减少量，一定等于其他形式能的增加量．
（2）某物体能量的减少量，一定等于其他物体能量的增加量．
例2。如图所示，一轻弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点，今将一质量m的小物体靠着弹簧，将弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能在水平面上运动到C点静止，AC距离为S；若将小物体系在弹簧上，在A由静止释放，小物体将做阻尼运动到最后静止，设小物体通过总路程为l，则下列答案中可能正确的是（ ）
A．l=2S； B．l＝S ；C．l＝0．5S ；D．l＝0
解析：若物体恰好静止在B．则弹簧原具有的弹性势能全部转化为内能，应有l＝S．若物体最后静止在B点的左侧或右侧时，弹簧仍具有一定的弹性势能，在这种情况下，物体移动的总路程就会小于S．
答案：BC
例3．如图5—20所示，木块A放在木块B上左端，用力F将A拉至B的右端，第次将B固定在地面上，F做功为W1，生热为Q1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，这次F做的功为W2，生热为Q2，则应有（ ）
A． W1＜W2， Q1= Q2 B． W1= W2， Q1＝Q2
C． W1＜W2， Q1＜Q2 D． W1＝W2， Q1＜Q2
解析：设B的长度为d，则系统损失的机械能转化为内能的数量Q1＝Q2=μmAgd，所以 C、D都错．
在两种情况下用恒力F将A拉至B的右端的过程中．第二种情况下A对地的位移要大于第一种情况下A对地的位移，所以 W2＞W1，B错
答案：A
3．用能量守恒定律解题的步骤
①确定研究的对象和范围，分析在研究的过程中有多少种不同形式的能（包括动能、势能、内能、电能等）发生变化．
②找出减少的能并求总的减少量ΔE减，找出增加的能并求总的增加量ΔE增
③由能量守恒列式，ΔE减=ΔE增。
④代入已知条求解．
例4。如图半径分别为R和r的甲、乙两圆形轨道放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，现有一小球从斜面上高为3R处的A点由静止释放，要使小球能滑上乙轨道并避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，试设计CD段可取的长度。小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其作各段均光滑。
{解析}：有两种情况，一种是小球恰过乙轨道
最高点，在乙轨道最高点的mg=mv2/r，从开始运
动到乙轨道最高点，由动能定理得
mg（3R-2r）-μmgCD=½mv2-0联立解得
CD=（6R-5r）/2μ，故应用CD＜（6R-5r）/2μ。
另一种是小球在乙轨道上运动¼圆周时，速度变为零，由mg（3R-r）=μmgCD解出CD=（3R-r）/μ，故应有CD＞（3R-r）/μ

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