在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是常数的轨迹，以下是椭圆专题检测，请考生及时练习。
一、选择题
2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()
(A)+=1 (B)+=1
(C)+y2=1 (D)+=1
二、填空题
7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.
8.已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-4,则△PF1F2的面积是.
9.分别过椭圆+=1(a0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1, l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.
三、解答题
10.(西安模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线C上任意一点P到两个定点F1(-,0)和F2(,0)的距离之和为4.
(1)求曲线C的方程.
(2)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,以线段AB为直径作圆.
试问:该圆能否经过坐标原点?若能,请写出此时直线l的方程,并证明你的结论;若不能,请说明理由.
11.(渭南模拟)已知椭圆C:+=1(a0)的右顶点A为抛物线y2=8x的焦点,上顶点为B,离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,若线段PQ的中点横坐标是-,求直线l的方程.
12.(能力挑战题)已知点P是圆F1:(x+)2+y2=16上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点.
(1)求点M的轨迹C的方程.
(2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KHx轴,H为垂足,延长HK到点Q使得|HK|=|KQ|,连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.
答案解析
2.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.
知其半径r=4,长轴长2a=4,a=2.
又e==,
c=1,b2=a2-c2=4-1=3,
椭圆的标准方程为+=1.
7.【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a0).
∵e=,=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.
答案:+=1
8.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF2的方程为y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因为x3,故舍去),
又点P(x,y)在椭圆上,且在x轴上方,得16()2+25y2=400,
解得y=2,
=|F1F2|y=62=6.
答案:6
9.【思路点拨】关键是由l1, l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.
【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.
又点P在椭圆内部,所以有c20,k2,②
则x1+x2=,x1x2=,代入①,得
(1+k2)-2k+4=0.即k2=4,
k=2或k=-2,满足②式.
所以,存在直线l,其方程为y=2x-2或y=-2x-2.
11.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为A(2,0),依题意可知a=2.
因为离心率e==,所以c=.
故b2=a2-c2=1,
所以椭圆C的方程为:+y2=1.
(2)直线l:y=kx+,
由
消去y可得(4k2+1)x2+
8kx+4=0,
因为直线l与椭圆C相交于P,Q,
所以=(8k)2-4(4k2+1)0,
解得|k|.
又x1+x2=,x1x2=,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0),
因为线段PQ的中点横坐标是-,
所以x0===-,
解得k=1或k=,
因为|k|,所以k=1,
因此所求直线l:y=x+.
12.【解析】(1)由题意得,F1(-,0),F2(,0),
圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,
从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4|F1F2|=2,
点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a=4,焦距2c=2,
则短半轴b===1,
椭圆方程为:+ y2=1.
(2)设K(x0,y0),则+=1.
∵|HK|=|KQ|,Q(x0,2y0),OQ==2,
Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上.
又A(-2,0),直线AQ的方程为y=(x+2).
令x=2,得D(2,).
又B(2,0),N为DB的中点,N(2,).
=(x0,2y0),=(x0-2,).
=x0(x0-2)+2y0=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+
=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,
,直线QN与以AB为直径的圆O相切.
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