第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1“且”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．如果函数的图象与轴有两个交点，则点在平面上的区域为（注：下列各选项的区域均不含边界，也不含轴）（　　）.4．已知且成等比数列，则有（ ）.A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值6．方程与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）.7．某同学对教材《选修2-2》上所研究函数的性质进行变式研究，并结合TI-Nspire图形计算器作图进行直观验证（如右图所示），根据你所学的知识，指出下列错误的结论是（ ）.A．的极大值为B．的极小值为C. 的单调递减区间为D. 在区间上的最大值为【答案】D【解析】试题分析：∵，∴，由，解得或，此时函数单调递增，由，解得，此时函数单调递减，∴C结论正确．∴当时，函数取得极大值，∴A结论正确．当时，函数取得极小值，∴B结论正确．∵，，∴在区间上的最大值为，∴D结论错误．故选D．考点：函数图象；利用导函数研究函数的单调性、极值、最值．8．是以为焦点的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹是（ ）.A．椭圆B．圆C．双曲线D．双曲线的一支第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）9在等差数列中，若，则数列的前9项的和为 . 10．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为 . 11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，那么等于 ．13．某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 km.仓库应建在距离车站，得，∴，，得，∴，∴，当且仅当，即时，费用之和最小．考点：基本不等式的应用．14．已知下列命题： ① 若、、、是空间任意四点，则有+++=； ② 是、共线的充要条件；③ 若是空间三向量，则；④ 对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=++（其中、、），则、、、四点共面其中不正确的命题的序号是 . 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分） 如图，在树丛中为了测量河对岸两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点；找到一个点，从点可以观察到点；找到一个点，从点可以观察到点. 并测量得到图中的一些数据，此外，.（1）求的面积；（2）求两点之间的距离.16．（13分）已知等差数列的公差，前项和为.（1）若成等比数列，求；（2）若，求的取值范围.或（2）的公差，且成等比数列，建立方程，即可求；（2）利用等差数列的公差，且，建立不等式，即可求的取值范围．试题解析：（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即，解得或. （2）因为数列的公差，且,所以，即，解得17．（13分）人们生活水平的提高，越来注重科学饮食. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪. 1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A和食物B多少kg？最低花费是多少？将目标函数变形为. 如图，作直线，当直线平移经过可行域，18. （13分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）（2）（2）设平面的法向量为 则由由取，，所以直线与平面所成角的正弦值为19. （14分）已知直线与抛物线交于、两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点. 如右图所示.（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由.（1）（2）（）（1）抛物线的方程化为，所以，∴ 抛物线C的焦点坐标为. （2）联立方程组，解得点A坐标为. 联立方程组，解得点B坐标为. 所以直线AB的方程为，令，解得∴ 点M的坐标为. 20．（14分）已知函数.（1）求的最小值；（2）若曲线在点)处与直线相切，求与的值（3）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围（1）（）；（） www.gkstk.cn 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 1 每天发布最有价值的高考资源www.gkstk.cn【解析版】广东省中山市2013-2014学年高二上学期期末统一考试试题（数学 理）
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