江西省安福县城关中学 曹经富
“课题学习”类试题在近年各地中考试题中频频出现,此类题型特点鲜明、内容丰富、超越常规,源于课本,又高于课本,不仅注重数学实践应用、动手探究的培养,还关注学生学习的过程和思想方法的渗透.这类试题较好地考查了学生的阅读理解能力、知识迁移能力和分析问题、解决问题的能力,这无疑为课堂教学注入了新鲜的活力。它既是一项全新的课程内容．又是一种具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性的新型的学习活动．经常成为呈现中考数学知识和能力的载体。现结合2011年各地中考题进行说明，希望能给大家带来一定的启示与帮助．
一、情景问题拓展类
例1：（2011江苏盐城）情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是，∠CAC′=?/SPAN>．
问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
思路点拨：沿矩形的对角线剪开所得的两个三角形是全等的，由如图2中位置及全等关系可得BC=AD，∠CAC′=90?/SPAN>；在图3中，当等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF的直角顶点重合于直线GP上的点A时，构建了如图2所示的两个直角三角形全等的数学模型，即Rt△ABG≌Rt△EAP.Rt△ACG≌Rt△FAQ，进而得到AG=EP，AG=FQ，从而得到EP=FQ.在图4中，当背景由等腰直角三角形变为矩形时，但矩形的长与宽之比均为k,从而构建了如图2所示的两直角三角形相似（全等）的数学模型，借助相似比及Rt△EPH≌Rt△FQH.容易得出HE=HF。
解：情境观察AD（或A′D），90
问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90?
∴∠BAG+∠EAP=90?∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90?/SPAN>，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90?/SPAN>，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.
同理AG=FQ.∴EP=FQ.
拓展延伸结论：HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90?/SPAN>，
∴∠BAG+∠EAP=90?AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90?/SPAN>，
∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90?/SPAN>，∴△ABG∽△EAP，
∴=.同理△ACG∽△FAQ，∴=.
∵AB=kAE，AC=kAF，∴==k，∴=.∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF
点评：本题以课题学习的方式呈现，解决此题的关键在于简单情景入手，准确把握相关图形的特征与模型，透过现象看到数学活动问题的本质（直角顶点重合于直线上某一点时，酝酿与构建了两直角三角形全等或相似关系），不被“动”及“变化的图形”所迷，关键是在于由特殊到一般、由简单到复杂的思维方式，这类试题不仅结论可以类比，而且思维方法、证明过程及说理过程也可通过类比得出，这种模式应引起我们的重视与关注。
二、阅读理解类
例5：（2011湖南永州）探究问题：
⑴方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45?/SPAN>，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90?/SPAN>得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90?
∴∠ABG+∠ABF=90?90?180?/SPAN>，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45?nbsp;∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90?45?45?/SPAN>．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45?/SPAN>．
即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
点评：此题以阅读理解的形式进行课题学习探究，题目中首先提供某种思路、方法或中间步骤，探讨某种情境或特殊情形下的解题思路与方法，然后将其进行拓展、推广到一般情况，进一步探究相关结论，解答此类问题的基本步骤是阅读——分析——理解——迁移——创新应用。
三、操作探究类
例3：（2011江苏苏州）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120?/SPAN>，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120?/SPAN>，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90?/SPAN>，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90?/SPAN>，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
点评：本题是一道典型的滚动探究与适当作图相结合的实践能力操作题，在解题过程中学生经历了“问题探究——问题解决”的过程，此类动手操作类的课题学习试题的解决策略是：通过对给定的信息进行分析、整理、研究，借助一定的实物操作与理性思考，得出一些有价值的信息与猜想，然后运用平时积累的知识、思想与方法解决问题，得出正确的结论。
四、课题实验探究类
例4：（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1=α（α<A1A0A2），θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如图所示．
（1）用含α的式子表示角的度数：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________
（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
点评：本题以课题学习为背景及方式呈现，通过“两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题”的探讨．是研究一个由特殊到一般结论的数学问题，先从简单特殊的几种正多边形入手，再推广到正n边形情形下规律的探究，这种探究思路和类比迁移的数学思想，应引起高度重视与学习．
五活动探讨类
例5:（2011江西）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
点评:本题以一个普通角为背景，创设摆放小棒的数学活动：搭建直角三角形与等腰三角形，开展课题研究，让学生感到熟悉而亲切，同学们都能在一定程度上得分，通过一系列问题的设问，将初中阶段的核心知识（等腰三角形、直角三角形、相似三角形、不等式组等）巧妙融入其中进行思考与探究，区分度与综合度明显增强。为此要求我们在日常教学中，应时刻关注身边的数学素材，注重开展与之相关的数学活动与数学研究，以提高学生的分析与探究能力。
课题学习类试题通常以探索、研究、实验操作等不同形式呈现于中考中，并借助恰当的数学素材，作为试题的内容和明确的研究方向；或是以几何图形为题材，或是以数学问题为背景等；通过对相关问题的描述或逐步观察、操作（包括数据分析、整理、运算或作图、或证明）和归纳、探究等，进而发现问题，创新问题．试题在注重考查相关基础知识、基本技能、方法的同时，更注重考查对相关知识的联想、探索、发现、总结归纳及创新的能力．是近几年中考改革中出现的新题型．一般包含：课题的提出、数学模型的建立、问题的解决、数学知识的应用、酝酿与形成研究问题的方法。（来源：凤凰数学）
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