第一讲 最不利原则
例1.盒子里有5支红笔，3支蓝笔，10支黑笔。现在随意抓一把笔要确保其中至少有1支红笔，则一把必须不少于几支？
分析：抓得巧，只要抓1支即可。然而并不能保证实现这种情况。最不利的情况是抓了13支，都是不想要的黑笔与蓝笔。不过，只要再多抓1支就必定包含红的了。
解：10＋3＋1＝14（支）
例2.一列2个小方格，每个方格中随意涂红黑两种颜色中的一种，当涂毕第几列时，至少有2列是相同的？（有一列与另一列重复）。
分析：不妨这样想：要实现两列所用颜色一样，涂的顺序也相同。然而，由于是任意选的，据最不利原则总是先考虑已涂各列没有重复的。如：
红 红 黑 黑……
红 黑 黑 红……
实际上各不相同的列数总共只有4列。到第5列就必定重复前面涂过的4种中的某一种。如果并非遇到最不利情况，那么在前5列中重复的列数就不止2列。这与“至少2列”并不矛盾。
解：4＋1＝5（列）

练习一
1.盒子里有3支红笔，6支蓝笔，10支黑笔。现在随意抓一把笔要确保其中至少有1支红笔，则一把必须不少于几支？

2.鱼池中有30条白鳞鱼，50条黑鳞鱼，50条金鳞鱼。至少在多少名钓鱼者中才可保证他们一次钓出的鱼中，必有金鳞鱼？
3.在一个口袋中有10个黑球、 6个白球、 4个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？

4.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：至少取多少根才能保证三种颜色都取到？

5.在三个口袋中各有10个黑球、10个白球、10个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？

第二讲 抽屉原理
专题简析：
如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x＋k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m＋1个或更多个元素。
例.某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？
分析与解：把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。
平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。

练习二
1.某校有370名2002年出生的学生，其中至少有几个学生的生日是同一天？

2.某校有30名学生是2月份出生的，至少有几个学生生日是在同一天？

3.15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？
 

4.小明家有5口人，小明妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果？

第三讲 巧算24点
同学们，看过王小丫主持的“开心辞典”节目吗？我记得上台答题者有3道必做题，其中有一道有关数学的是：用四个数，通过加减乘除计算出24。“巧算24点”是一种数学游戏，正如象棋、围棋一样是人们喜闻乐见的娱乐活动。它对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助。相信你会很快喜欢上它的！
假如，你手中就只有两张牌要算出24，你希望是哪两张？3和8，4和6，12和2，11和13。
1.利用3×8＝24、4×6＝24求解。
现在我们有四张牌，该怎么办呢？把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解。如3、3、6、10可组成（10－6÷3）＝24等。又如2、3、3、7可组成（7＋（3－2）×3＝24等。实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。
2.利用0、1的运算特性求解。
同数相减得0，0加任何数的原数。相同数相除的1，1乘任何数得原数等。如3、4、4、8可组成3×8＋4－4＝24等。又如4、5、J、K可组成11×（5－4）＋13＝24等。

练习三
3，3，5，6

2，2，4，8

1，4，4，5

6，8，8，9

5，7，12，12

2，2，6，9

2，6，9，9

1，4，4，7

2，2，5，7

第四讲 相遇问题
例1.甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米?

分析与解答：从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了32×2＝64（千米）。两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米呢？因为甲车每小时比乙车多行56－48＝8（千米）。64里包含8个8，所以此时两车各行了8小时，东、西两地的路程只要用（56＋48）×8就能得出。
32×2÷（56－48）＝8（小时）
（56＋48）×8＝832（千米）
答：东、西两地相距832千米。

练习四
1.小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米？

2.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到离两地中点处50千米时和汽车相遇。甲、乙两地相距多少千米？

3.甲、乙二人同时从东、西村相向出发，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米，甲和乙在过中点200米处相遇。东村到西村的路程是多少米？

4.两车同时从甲乙两地相对开出，甲每小时行48千米，乙车每小时行54千米，相遇时两车离中点36千米，甲乙两地相距多少千米？

第五讲 追及问题
本周的主要问题是“追及问题” 。
追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题。追及问题的基本数量关系是：
速度差×追及时间＝追及路程
解答追及问题，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差。抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解题。
例.中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车？
分析与解：原来小轿车落后于中巴车60千米，但由于小轿车的速度比中巴车快，每小时比中巴车多行84－60＝24千米，也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。60÷24＝2.5小时，所以2.5小时后小轿车能追上中巴车。

练习五
1.一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车，卡车行驶的速度是每小时65千米。摩托车多长时间能够追上？

2.兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分钟跑120米；哥哥在后，每分钟跑140米。几分钟后哥哥追上弟弟？

3.小华从家里已走出200米，她的姐姐从家里骑自行车去追小华。已知小华每分钟走70米，姐姐骑自行车每分钟行120米。姐姐追上小华需要多少分钟？

4.甲骑自行车从A地到B地，每小时行16千米。1小时后，乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地。A、B两地相距多少千米？

第六讲 过桥问题
专题简析：
有关火车过桥、火车过隧道、两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。如果有些问题不容易一下子看出运动过程中的数量关系，可以利用作图或演示的方法来帮助解题。
解答火车行程问题可记住以下几点：
1.火车过桥（或隧道）所用的时间＝[桥（隧道长）＋火车车长]÷火车的速度；
2.两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间＝两火车车身长度和÷两车速度和；
3.两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间＝两车车身长度和÷两车速度差。
例1.甲火车长210米，每秒行18米；乙火车长140米，每秒行13米。乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶。甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少秒？
分析：甲火车从追上到超过乙火车，比乙火车多行了甲、乙两火车车身长度的和，而两车速度的差是18－13＝5米，因此，甲火车从追上到超过乙火车所用的时间是：（210＋140）÷（18－13）＝70秒。

练习六
1.一列火车长200米，它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒？
2.某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒，客车长105米，每秒速度为8米，求步行人每秒多少米?

3.一人以每分钟60米的速度沿铁路步行，一列长144米的客车对面开来，从他身边通过用了8秒钟，列车的速度是多少米/秒？

4.一列火车长700米，以每分钟400米的速度通过一座长900米的大桥.从车头上桥到车尾离要多少分钟？

第七讲 流水行船问题
当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风。当顺风时，借着风力，相对而言用里较少。在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。
解答这类题的要素有下列几点：水速、流速、划速、距离，解答这类题与和差问题相似。划速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺流速相当于和数，逆流速相当于差速。
顺流船速＝划速＋水速； 逆流船速＝划速－水速；
划速＝（顺流船速＋逆流船速）÷2；
水速＝（顺流船速－逆流船速）÷2；
顺流船速＝逆流船速＋水速×2；逆流船速＝逆流船速－水速×2。
例：一条轮船往返于A、B两地之间，由A地到B地是顺水航行，由B地到A地是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A地到B地用了6小时，由B地到A地所用的时间是由A地到B地所用时间的1.5倍，求水流速度。
解：设水流速度为每小时x千米，则船由A地到B地行驶的路程为[（20＋x）×6]千米，船由B地到A地行驶的路程为[（20－x）×6×1.5]千米。列方程为（20＋x）×6＝（20－x）×6×1.5，x＝4

练习七
1.船行于120千米一段长的江河中，逆流而上用10小明，顺流而下用6小时，求水速和船速。

2.一只船逆流而上，水速2千米，船速32千米，4小时行多少千米。(船速，水速按每小时算)

3.一只船静水中每小时行8千米，逆流行2小时行12千米，求水速。
 

4.某船在静水中的速度是每小时18千米，水速是每小时2千米，这船从甲地到乙地逆水行驶需15小时，则甲、乙两地相距多少千米？

第八讲 质数合数分解质因数
专题简析：
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24＝2×2×2×3，75＝3×5×5。
我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

例1.把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？
分析：先把18分解质因数：18＝2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。

练习八
1.有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？

2.195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？

3.甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。

4.有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？

5.把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。

第九讲 数的整除特征
1.若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
2.若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
3.若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
4.若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
5.若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
6.若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
5.若一个整数的末三位与前几位的差或反差是7的倍数，这个数就是7的倍数。
6.若一个整数的末三位与前几位的差或反差是11的倍数，这个数就是11的倍数。
7.若一个整数的末三位与前几位的差或反差是13的倍数，这个数就是13的倍数。
8.若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
9.若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
10.若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

练习九
1.能被3整除的最小的两位数是＿＿＿，能被3整除的最大的两位数是＿＿＿。

2.一个两位数，既能被3整除，又能被5整除，它的十位上的数是4，个位上的数是＿＿＿。
3.能同时被2，3，5整除的最小的两位数是＿＿＿。

4.同时能被3，4，5整除的最小四位数是＿＿＿。

5.从 0，l，2，3这四个数中任选三个，组成能同时被2，3，5整除的三位数，这样的三位数共有＿＿＿个。

6.一个六位数12□34□是88的倍数，那么这个数除以88所得的商是＿＿＿。

第十讲 最大公约数和最小公倍数
常用的求最大公约数的方法是分解质因数法和短除法。几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫这几个数的最小公倍数。下面讨论几个与最大公约数和最小公倍数有关的问题。
例1.将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块。问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）
分析与解：假设锯完后小木块的边长为a，那么把锯得的所有小木块堆起来，适当组合以后一定可以堆成原来长方体木料的形状。这就是说3.57、1.05、0.84都是小木块边长a的倍数，反过来说a就是3.57、1.05、0.84的公约数。另外还要求小木块体积最大，也就是要求小木块的边长a最大。所以a是3.57、1.05、0.84三个数的最大公约数。
因为3.57米＝357厘米，1.05米＝105厘米，0.84米＝84厘米，所以 a＝（357，105，84）＝3×7＝21。当小木块边长为21厘米时，其体积最大。

练习十
1.把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？

2.一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？

3.将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？

4.一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？

第十一讲 分数和小数的互化
学完循环小数以后，有同学会产生以下问题：0.9和1谁大谁小？为解决这个问题就要研究分数与小数的互化问题。
有限小数是十进分数的另一种表现形式，如 ， 。
所以一个分数只要能变成十进分数就能化成有限小数。那么什么样的分数能化成十进分数呢？就是分母分解质因数后只含有2、5这样质因数的最简分数。即一个最简分数，如果分母除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数一定能化成有限小数，而且有限小数中小数部分的位数等于分母中质因数2、5个数中最大的那个数。那么什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数？它的不循环部分的位数与循环节的最少位数与分母又有什么关系呢？下面就来研究这一问题。

练习十
1.把下面的分数化成小数：

2.一个最简分数，如果分母中只含有质因数____，这个分数一定能化成有限小数。
3.把下列分数化成小数：
4.把下列分数化成小数：

5.把下面的小数化成分数：
0.75＝______，1.39＝_______，1.625＝______。
6.把三个数： 和0.91，按从大到小的顺序排列起来。

7.计算： －0.15
8.在下面的括号里填上适当的数：


第十二讲 分数大小比较
专题简析：解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。如：a＞b＞0，那么a的平方＞b的平方；如果a＞b＞0，那么1a ＜1b ；如果ab ＞1，b＞0，那么a＞b等等。
比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。
如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。
除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。
例.比较777773777778 和888884888889 的大小。
因为1－777773777778 ＝5777778 ，1－888884888889 ＝5888889
5777778 ＞5888889
所以777773777778 ＜888884888889 。

练习十二
1.比较下面两个分数的大小：
2.分数
3.如果 那么A与B中较小的分数是_____。
4.分数 中较大的一个是＿＿＿。
5.分数 。
6.把分数 按照从大到小的顺序排列起来＿＿＿＿。
7.把分数 按照从小到大的顺序排列起来：

8.分数 中，最大的数是＿＿，最小的数是＿＿。
9.把下列分数按从小到大的顺序排列起来：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
10.比较大小：


第十三讲 裂项法
专题简析：前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如1a×(a+1) 的分数可以拆成1a －1a+1 ；形如1a×（a+n） 的分数可以拆成1n ×（1a －1a+n ），形如a+ba×b 的分数可以拆成1a ＋1b 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
例.计算：11×2 ＋12×3 ＋13×4 ＋…..＋ 199×100
原式＝（1－12 ）＋（12 －13 ）＋（13 －14 ）＋…..＋ （199 －1100 ）
＝1－12 ＋12 －13 ＋13 －14 ＋…..＋ 199 －1100
＝1－1100
＝99100

练习十三
1.14×5 ＋15×6 ＋16×7 ＋…＋139×40

2.110×11 ＋111×12 ＋112×13 ＋ 113×14 ＋114×15

3.12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋ 130 ＋142

4.1－16 ＋142 ＋156 ＋172

第十四讲 繁分数
我们已经学习过分数，如3÷7＝37 5÷11＝511 ，即两个数相除，其中被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，所以37 ÷5可以写成37 5 ，2÷（35 ＋27 ）可以写成2 35 +27 ，（311 ＋12 ）÷（58＋13 ）可以写成311 +12 58 +13 。
由以上三式我们看到繁分数的分子或分母中又含有分数，繁分数是我们学习分数时遇到的一类较复杂分数。在繁分数中，用较长的分数线分出分子部分和分母部分，这较长的分数线我们称它为主分数线。
繁分数的计算并不难，关键要掌握好分数运算的基本方法.如：分数的运算法则、约分以及分数基本性质，这样就能化繁为简，很快地计算出来

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