从某种角度看数学属于形式科学的一种,下面是数学网整理的定直线问题专项练习,请考生认真练习。
在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p0)相交于A,B两点。
(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;
(2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由。
破题切入点:假设符合条件的直线存在,求出弦长,利用变量的系数恒为零求解。
解:方法一:
(1)依题意,点N的坐标为N(0,-p),
可设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB的方程为y=kx+p,
与x2=2py联立得:
消去y得x2-2pkx-2p2=0。
由根与系数的关系得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2。
于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p
=p=2p2,
当k=0时,(S△ABN)min=2p2。
(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,
AC的中点为O,l与以AC为直径的圆相交于点P,Q,PQ的中点为H,
则OHPQ,Q点的坐标为。
∵OP=AC==,
OH==|2a-y1-p|,
PH2=OP2-OH2
=(y+p2)-(2a-y1-p)2
=(a-)y1+a(p-a),
PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)]。
令a-=0,得a=,
此时PQ=p为定值,故满足条件的直线l存在,
其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线。
方法二:
(1)前同方法一,再由弦长公式得
AB=|x1-x2|=2p,
又由点到直线的距离公式得d=。
从而S△ABN=dAB=2p=2p2。
当k=0时,(S△ABN)min=2p2。
(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,
则以AC为直径的圆的方程为
(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0,
将直线方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0,
则=x-4(a-p)(a-y1)
=4[(a-)y1+a(p-a)]。
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3,y3),Q(x4,y4),
则有PQ=|x3-x4|=2。
令a-=0,得a=,
此时PQ=p为定值,故满足条件的直线l存在,
其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线。
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