二项式定理给出两个数之和的整数次幂诸如 展开为类似 项之和的恒等式,以下是二项式定理同步检测,请考生及时练习。
1.二项式6的展开式中的常数项是()
A.20 B.-20
C.160 D.-160
解析 二项式(2x-)6的展开式的通项是Tr+1=C(2x)6-rr=C26-r(-1)rx6-2r.令6-2r=0,得r=3,因此二项式(2x-)6的展开式中的常数项是C26-3(-1)3=-160.
答案 D
2.若二项式n的展开式中第5项是常数项,则正整数n的值可能为().
A.6 B.10 C.12 D.15
解析 Tr+1=C()n-rr=(-2)rCx,当r=4时,=0,又nN*,n=12.
答案 C
3.已知8展开式中常数项为1 120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是().
A.28 B.38 C.1或38 D.1或28
解析 由题意知C(-a)4=1 120,解得a=2,令x=1,得展开式各项系数和为(1-a)8=1或38.
答案
4.设n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为().
A.-150 B.150 C.300 D.-300
解析 由已知条件4n-2n=240,解得n=4,
Tr+1=C(5x)4-rr=(-1)r54-rCx4-,
令4-=1,得r=2,T3=150x.
答案 B
.设aZ,且013,若512 012+a能被13整除,则a=().
A.0 B.1 C.11 D.12
解析 512 012+a=(134-1)2 012+a被13整除余1+a,结合选项可得a=12时,512 012+a能被13整除.
答案 D.已知00)与y=|logax|的大致图象如图所示,所以n=2.故(x+1)n+(x+1)11=(x+2-1)2+(x+2-1)11,所以a1=-2+C=-2+11=9.
答案 B
二、填空题
. 18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示).
解析 Tr+1=Cx18-rr=(-1)rCrx18-r,令18-r=15,解得r=2.所以所求系数为(-1)2C2=17.
答案 17
.已知(1+x+x2)n的展开式中没有常数项,nN*且28,则n=________.
解析 n展开式中的通项为
Tr+1=Cxn-rr
=Cxn-4r(r=0,1,2,,8),
将n=2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知
n=5.
答案 n=5
.若(cos+x)5的展开式中x3的系数为2,则sin=________.
解析 由二项式定理得,x3的系数为Ccos2=2,cos2=,故sin=cos2=2cos2-1=-.
- .设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是________.
解析 由Tr+1=Cx6-rr=C(-a)rx6-r,
得B=C(-a)4,A=C(-a)2,B=4A,a0,a=2.
答案 2三、解答题
.已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n;(2)求展开式中的常数项.
解 (1)由题意,得C+C+C++C=256,即2n=256,解得n=8.
(2)该二项展开式中的第r+1项为Tr+1=C()8-rr=Cx,令=0,得r=2,此时,常数项为T3=C=28.
.已知等差数列2,5,8,与等比数列2,4,8,,求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式.
等差数列2,5,8,的通项公式为an=3n-1,
等比数列2,4,8,的通项公式为bk =2k ,令3n-1=2k ,nN*,k N*,
即n==
=,
当k =2m-1时,mN*,
n=N*,
Cn=b2n-1=22n-1(nN*).
.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.
解 5的展开式的通项为Tr+1=C5-rr=5-rCx,令20-5r=0,得r=4,故常数项T5=C=16.又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n,由题意知2n=16,得n=4.由二项式系数的性质知,(a2+1)n展开式中系数最大的项是中间项T3,故有Ca4=54,解得a=.
.已知n,(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.
解 (1)C+C=2C,n2-21n+98=0.
n=7或n=14,
当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
T4的系数为C423=,
T5的系数为C324=70,
当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.
T8的系数为C727=3 432.
(2)C+C+C=79,n2+n-156=0.
n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大,
12=12(1+4x)12,
9.410.4,k=10.
展开式中系数最大的项为T11,
T11=C2210x10=16 896x1
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