函数综合题重点题型归纳
已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点M()处的切线方程;
(Ⅱ)设a0. 如果过点(a, b)时作曲线y=f(x)的三条切线，证明：
设函数.
(Ⅰ)证明：的导数;(Ⅱ)若对所有都有，求的取值范围.
已知函数，.()讨论函数的单调区间;()设函数在区间内是减函数，求的取值范围.
设函数.
(Ⅰ)求的单调期间;(Ⅱ)如果对任何，都有，求a的取值范围.
设函数有两个极值点，且
(I)求的取值范围，并讨论的单调性;(II)证明：
已知，其中是自然常数，
(1)讨论时, 的单调性、极值; (2)求证：在(1)的条件下，;
(3)是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值;若不存在，说明理由.已知函数(R)的一个极值点为.方程的两个实根为, 函数在区间上是单调的.
(1) 求的值和的取值范围; (2) 若, 证明:
设函数在两个极值点，且
(I)求满足的约束条件，并在坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域;
(II)证明：
、是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有;②存在常数，使得对任意的，都有.
(I)设 ，证明：
(II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的;
(III) 设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式函数综合题重点题型归纳解：(Ⅰ)求函数的导数：
曲线处的切线方程为：即
(Ⅱ)如果有一条切线过点(a，b)，则存在使
于是，若过点(a，b)可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根，记 则
当t变化时，变化情况如下表：
t(-，0)0(0，a)a(a，+)+0-0+?极大值a+b?极小值b-?由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根;
当时，解方程，即方程只有两个相异的实数根;
当时，解方程，即方程只有两个相异的实数根
综上，如果过可作曲线三条曲线，即有三个相异的实数根，则
即 解：(Ⅰ)的导数.由于，故.(当且仅当时，等号成立).
(Ⅱ)令，则，
(?)若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即.
(?)若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数.
所以，时，，即，与题设相矛盾.
综上，满足条件的的取值范围是.
解：(1)求导：
当时，，，在上递增当，求得两根为
即在递增，递减，递增
(2)，且解得：
解：(Ⅰ)当()时，，即;
当()时，，即.
因此在每一个区间()是增函数，
在每一个区间()是减函数.6分(Ⅱ)令，则故当时，.又，所以当时，，即.当时，令，则.故当时，因此在上单调增加.故当时，，即于是，当时，.
当时，有.因此，的取值范围是.12分
解: (I)
令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得
⑴当时，在内为增函数;
⑵当时，在内为减函数;
⑶当时，在内为增函数;
(II)由(I)，
设，则
⑴当时，在单调递增;
⑵当时，，在单调递减。
故.
解：(1)， 1分
当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增 3分
的极小值为 4分
(2)的极小值为1，即在上的最小值为1， ，
令，， 6分
当时，，在上单调递增 7分
在(1)的条件下，(3)假设存在实数，使()有最小值3，
① 当时，，所以 ， 所以在上单调递减，
，(舍去)，所以，此时无最小值. 10分
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件. 11分
③ 当时，，所以，所以在上单调递减，，(舍去)，所以，此时无最小值.
综上，存在实数，使得当时有最小值3.14分
(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1) 解:∵, .
∵的一个极值点为, .
. ,
当时, ;当时, ;当时, ;
函数在上单调递增, 在上单调递减,在上单调递增.
∵方程的两个实根为, 即的两根为,
.,.
∵ 函数在区间上是单调的, 区间只能是区间,,之一的子区间.
由于,故.
若,则,与矛盾..
方程的两根都在区间上. 6分
令, 的对称轴为,
则 解得.实数的取值范围为.
说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.
∵且函数在区间上是单调的, 由 即解得. 实数的取值范围为(2)证明:由(1)可知函数在区间上单调递减,
函数在区间上的最大值为, 最小值为.
∵,
. 10分
令, 则,.
设, 则. ∵, .
.函数在上单调递增.
..
8、分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根
则有故有
右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。
(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，(如果消会较繁琐)再利用的范围，并借助(I)中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。
解： 由题意有①又②
消去可得.又，且
9、解：对任意,,,, 所以
对任意的，，
，所以0,
令=，，， 所以
反证法:设存在两个使得,则
由，得，所以，矛盾，故结论成立。
，所以
+
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