南京师范大学涂荣豹教授对江苏2014年高考预测题
小题：
1．已知a，b是非零向量，且满足，则a与b的夹角是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数在区间内恒有，则的单调递增区间为 （ ）
A． B． C． D．
3．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边和最小边长度比为m，则m的范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．设、、为平面，m、n、l为直线，则的一个充分条件是 （ ）
A． B．
C． D．
5．设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的动点P的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设，则以下不等式中不恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．设函数满足，则方程的根的个数是（ ）
A．无穷个 B．没有或者有限个 C．有限个 D．没有或者无穷个
8．今测得太阳光线与水平面成角，一棵竖直生长的雪松树在水平地面上的影长为10米，则雪松高度h的范围是 （ ）
A． B． C． D．
9．已知、均为锐角，且，则= .
10．过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是
.
11．已知，及，则= .
解：，则是R上的增函数，得
12．给定平面上的5个点A、B、C、D、E，由这些点连成4条线段，每点至少是一条线段的端点，任意三线段不共点.不同的连结方式有 种.
解：图中4种连结方式都满足要求.
（图中仅表示点、线间连结形式，不考
虑点的位置）.
情况（1），主要是中心点的选择，
决定其连结方式有5种；
情况（2），可视为5个点A、B、C、D、E的排列，但一种排列与其逆序排列是同一的，且两者是一一对应的，故该情况连结方式有（种）；
情况（3），首先是分歧点的选择有5种，其次是分叉的两点的选择有（种），最后是余下并连两点的顺序有别，有2！种，共计（种）；
情况（4），选择3点构造三角形，有（种）.
总计有（种）连结方式.
大题：
1．已知向量
求函数的最大值、最小正周期，并写出在上的单调区间。
解：
所以的最大值为，最小正周期，在上递增，在上递减。
2．中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且
（I）的值；
（II）设，求的值.
解：（I）由，得，由及正弦定理得于是
（II）由，得；由，得，即
由余弦定理，
得
可得。
3．某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量x（件）的关系如右表。又知每生产一件正品赢利a元，每生产一件次品亏损元（）。
（I）将该厂日赢利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；
（II）为了获得最大赢利，该厂的日产量定为多少件？（取）
x
1
2
3
4
…
98
p
…
1
解：（I）由题意可知
日产量x件中，正品件，次品px件，
日赢利额
（II）
当且仅当时取等号，即
因为，故（或82）时，T取最大值.
4．某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力逐年下降，若不进行技术改造，预计从今年起每年比上一年纯利润减少20万元。今年初该企业一次性投资600万元进行技术改造，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为 万元（n为正整数）。
（I）设从今年起的前n年，该企业不进行技术的改造的累计纯利润为万，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；
（II）以上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
解：（I）依题设，
（II）
因为函数在上为增函数，
所以，当时，
当时，
所以，仅当时，
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。
5．甲、乙两队进行一场排球比赛，采用五局三胜制，即规定五局定胜负，先胜三局者获胜，且比赛就此结束。现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率是0.6，乙队获胜的概率是0.4,且每局比赛的胜负是相互独立的，问：
（I）甲队比3：2获胜的概率是多少？（II）乙队获胜的概率是多少？
解：（I）设甲队以3：2获胜的事件为A，则第五局甲必胜，前4局各胜2局，所以
（II）设乙队获胜的事件为B，则B包括3种情况：（1）3：0，乙胜；（2）3：1，
乙胜；（3）3：2，乙胜.
答：甲队以3：2获胜的概率是0.2201436；乙队获胜的概率是0.31744。
6．已知四棱锥的底面是直角梯形，底面ABCD，是PB的中点.
（I）证明：平面平面PCD；
（II）求AC与PB所成的角；
（III）求平面AMC与平面BMC所成角的大小.
方法一：（I）证明：底面，
由三垂线定理得，则平面PAD，
平面平面PAD.
（II）解：过点B作，且，则是AC与PB所成的角.
与底面ABCD所成的角.
则
又
是等腰直角三角形，
则
与PB所成的角为
（III）解：作，垂足为N，连接BN.在直角中，又
得
则是所求二面角的平面角.
，得面PAC，
在直角中，，所以
在等腰中用等积变换，
则所求的二面角为
方法二：底面ABCD，构成空间坐标系，各点坐标是
（I）证明：，由得
由得则平面PAD.
所以平面平PAD.
（II）解：
所以AC与PB所成的角为
（III）解：在MC上取一点，则，
，要使，则需
即，解得由得，则N点坐标为 从而为 所求二面角的平面角。
所以所求二面角为
7．如图，在长方体中，点E在棱AB上移动.
（I）证明：；
（II）若E为AB中点，求E到面的距离；
（III）AE等于何值时，二面角的大小为
方法一
（I）证明：
（II）设点E到平面的距离为h，由题设可得
算得
则
（III）过D作，垂足为H，连则
为二面角的平面角.
设，在直角中，
在直角中，在直角中，
在直角中，，在直角中，
因为以上各步步步可逆，所以当时，二面角的 大小为
方法二：以DA，DC，DD1建立空间坐标系，设，有
（I）证明：因为，所以，
（II）解：E是AB中点，有， 设平面的法向量为则也即，
得，从而，点E到平面的距离
（III）设平面的法向量为
由令，得
则于是
（不合，舍去），
即时，二面角的大小为
8．如图，过抛线的对称轴上一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是P关于原点的对称点.
（I）若点P为定点，求证为定值；
（II）设点P分有向线段所成的比为，证明；
（III）设直线AB的方程是，过A、B两点的圆与抛物线在点A处有共同的切线，求圆心的方程.
解：（1）设直线AB方程为，代入
得 ①。
设则是方程①的两个根，
可得
因为P点为定点时,m是定值,
所以是定值.
（II）由题设有得点Q是点P关于原点的对称点，
，
所以
（III）由，得点、由得
所以抛物线在点A处的切线斜率为
设过A、B的圆的方程是，
则
解得
圆的方程是，即
9．设直线，双曲线，双曲线E的离心率为与E交于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且
（I）证明：
（II）求双曲线E的方程；
（III）若点F是双曲线E的右焦点，M、N是双曲线上两点，且，求实数的取值范围.
解：（I）双曲线离心率
设直线l方程为由，及得①，
设，则是①的两根，②.
即
③将②代入③得
即④.得证
（II）易知，
将代入 ②得⑤解④、⑤得
双曲线E的方程为
（III）双曲线E的右焦点F为
设，
.
把M、N两点坐标代入得
整理得，且
，得，
因此所求的范围是
10．设是函数的两个极值点，
且
（I）证明：；
（II）证明：；
（III）若函数，证明：当且时，
解：（I）证明：是函数的两个极值点，是的 两个根.
，得
（II）证明：设，则， 由， 得，得
在上是增函数，在上是减函数；，
故
（III）证明：是的两个实根，
又
故
11．已知函数当时，的值域为，当时，的值域为……当时，的值域为，其中a，b为常数，
（I）时，求数列与的通项；
（II）设且，若数列是公比不为1的等比数列，求b的值.
（III）若，设与的前n项和分别记为与，
求的值.
（I）解：函数在R上是增函数，
数列与都是公差为b的等差数列.
（II）解：；由是等比数列，知应为常数.
又是公比不为1的等比数列，则不是常数，必有
（III）解：两式相减，
得
.
12．已知函数
（1）若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：；
（2）若，则函数的函数的图象上的任意的一点的切线的斜率为k，求证：是成立的充要条件。
解：（1）设函数的图象上任意不同的两点为，
且，则，即有
因为，所以，即
又因，所以，即故
（2）当时，
由题意，得，即对于任意的等价于
；即，或者
解得故使成立的充要条件是
13．在中，若且的周长为12.
（1）证明为直角三角形；
（2）求面积的最大可能值.
解：（1）由已知得，
即
又
故
则，即为直角三角形.
（2）设A、B、C分别对应的边为a、b、c，依题意得
因为，所以，
即，
即
14．已知的面积为，且
（1）设，求向量与的夹角正切值的取值范围.
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q，，当取得最小值时，求此双曲线的方程.
（3）设为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点,且,求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
解：（1）由得。又，则
（2）设所求的双曲线方程为，则，
又由
，
当且仅当时，最小，此时Q的坐标为或，
所求方程为
（3）设的方程为的方程为，则有…①，…②
…③，设，由①、②得
代入③得
的轨迹为集点在y轴上的椭圆.
15．已知直线与双曲线有A、B两个不同的交点.
（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；
（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线对称？试述理由.
解：（1）设，则以AB为直径的圆恰好过原点O的充要条件是，即…①
由消去y得 …②
将其代入①得，解得或
当时，方程②为，有两个不等实根；
当时，方程②为，有两个不等实根.
故当或时，以AB为直径的圆恰好过原点O.
（2）若关于直线对称，
则
将④整理得
因为所以，解之，得这个结果与③矛盾.
故不存在这样的k，使两点A、B关于直线对称.
16．已知双曲线；抛物线C2的顶点在原点O，又C1的焦点是C2的左焦点F1.
（1）求证：C1与C2总有两个不同的交点；
（2）是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使有最大或最小值？若有，求出AB所在直线的方程与最值；若没有，请说明理由.
解：（1）
由消去y，得 ①
方程①有实根、
又，不妨设
当时，无实根；
当时，有两个不同实根，从而与总有两个不同的交点.
（2）假设符合条件的弦AB存在.
（i）当直线斜率k存在时，易知设直线AB的方程为
由方程组，消去y，得
又原点到直线AB的距离为
（ii）当直线斜率k不存在，即AB与x轴垂直时，有
面积的最小值为，此时直线AB的方程为
当时，，因此，面积无最大值.
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