北京市西城区2015 — 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．圆的半径为 ( )A.B. C. D. 2．双曲线的实轴长为 ( )A. B. C. D. 3．若，，且，则 ( )A. B. C. D. 4．命题“,”的否定为，B. ， C. ，D. ， 5． “”是“方程表示圆”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为若则当时方程不能表示一个圆.所以充分性不成立；当方程表示圆时，即.即有成立.所以必要性成立.综上“”是“方程表示圆”的必要不从分条件.故选B.考点：1.圆的方程.2.充分必要条件.6．关于直线以及平面,下列命题中正确的是 ( )A. 若，，则B. 若，，则 C. 若，且，则D. 若，，则7．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点， ，则 ( ) A. B. C. D. 8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于 （ ）A. B. C. D. 9．已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若，则动点的轨迹是（ ）A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知正方体，点，，分别是，和上的动点，与，与．给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11. 已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______.12. 命题“，则题的离心率为_______；渐近线方程为_______.14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.15. 如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为_______；二面角的大小为_______.16. 已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.给出下列结论：存在点，使得为等边三角形；不存在点，使得为等边三角形；③存在点，使得；④不存在点，使得.其中，所有正确结论的序号是__________.以①正确；若存在点，使得，同样设，代入椭圆方程可得，解得.所以 .所以不存在点.所以④正确.故填①④.考点：1.直线与椭圆的位置关系.2.利用方程的思想解决问题.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点. （）平面； （）.18. （本小题满分13分）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】试题分析：（Ⅰ）本题求圆的方程，已知圆上两点即圆心的纵坐标，所以需要求出圆的半径和圆心的横坐标两个值即可确定圆的方程，通过列解方程即可求出相应的量，该题的半径的长刚好就是圆心的横坐标的值，这个条件要用上.19. （本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，，，是中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）（）（）（Ⅱ）解：由（）是平面的法向量， ， 则 . 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 考点：1.线面垂直.2.线面所成的角.3.空间直角坐标系的解决线面问题.20. （本小题满分14分）如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（Ⅰ）；（Ⅱ）与平面所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由． （Ⅲ）用待定系数的方法，假设存在该点Q，要满足平面，只需要向量PQ，与平面内任一两条直线所对应的向量的数量积为零即可，从而求出点Q的坐标即线段PQ的长.（Ⅱ）平面，，所以平面，所以 . 如图所示，以为原点建立空间直角坐标系. 则 ，，，，. 所以 ,， 设平面的法向量为，则 ， 令，则,.所以. 同理求得平面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 21. （本小题满分13分）已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.（Ⅰ）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；（Ⅱ）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.【答案】（）（）（）（）（）的方程，利用点差法将点A,B的坐标带入抛物线方程.即可求出直线过定点，要做点是否存在的判定.试题解析：（Ⅰ）设过点的直线方程为，由 得. 因为 ，且，所以，. 设，，则，. 因为线段中点的横坐标等于，所以， 解得，符合题意. 22. （本小题满分14分）已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.（Ⅰ）若所在的直线方程为，求的长；（Ⅱ）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.【答案】（）（）【解析】试题分析：（）所在的直线方程为与椭圆方程相交所得的弦长.一般是通过联立两方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，可以解得两个交点的坐标的横坐标，确定点的坐标，从而根据两点的距离公式求出弦长.（）的关系求出点P的坐标，带到椭圆方程中，即可求出含斜率的一个等式，从而可得结论.试题解析：（） 得，解得或， 所以两点的坐标为和所以. 所以，的面积. 综上，面积为常数. 考点：1.直线与椭圆的位置关系.2.弦长公式.3.点到直线的距离公式.4.向量的知识.5.整体的解题思想.6.过定点的问题. 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 1 每天发布最有价值的北京市西城区2015-2016学年高二上学期期末考试试题（数学 理）
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