充分与必要条件考查学生的逻辑能力且经常与其他的题结合在一起考查,那么我们该如何判断充分与必要条件。小编为你提供判断充分与必要条件的常用方法,希望对大家有帮助。
一、定义法
对于“?圯”,可以简单的记为箭头所指为必要,箭尾所指为充分.在解答此类题目时,利用定义直接推导,一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义.
例1已知p:-2
分析条件p确定了m,n的范围,结论q则明确了方程的根的特点,且m,n作为系数,因此理应联想到根与系数的关系,然后再进一步化简.
解设x1,x2是方程x2+mx+n=0的两个小于1的正根,即0
而对于满足条件p的m=-1,n=,方程x2-x+=0并无实根,所以pq.
综上,可知p是q的必要但不充分条件.
点评解决条件判断问题时,务必分清谁是条件,谁是结论,然后既要尝试由条件能否推出结论,也要尝试由结论能否推出条件,这样才能明确做出充分性与必要性的判断.
二、集合法
如果将命题p,q分别看作两个集合A与B,用集合意识解释条件,则有:①若A?哿B,则x∈A是x∈B的充分条件,x∈B是x∈A的必要条件;②若A?芴B,则x∈A是x∈B的充分不必要条件,x∈B是x∈A的必要不充分条件;③若A=B,则x∈A和x∈B互为充要条件;④若A?芫B且A?芸B,则x∈A和x∈B互为既不充分也不必要条件.
例2设x,y∈R,则x2+y2<2是|x|+|y|≤的()条件,是|x|+|y|<2的()条件.
A.充要条件B.既非充分也非必要条件
C.必要不充分条件?摇D.充分不必要条件
解如右图所示,平面区域P=x2+y2<2表示圆内部分(不含边界);平面区域Q=y表示小正方形内部分(含边界);平面区域M=+表示大正方形内部分(不含边界).
由于(,0)?埸P,但(,0)∈Q,则P?芸Q.又P?芫Q,于是x2+y2<2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要条件,故选B.
同理P?芴M,于是x2+y2<2是|x|+|y|<2的充分不必要条件,故选D.
点评由数想形,以形辅数,这种解法正是数形结合思想在解题中的有力体现.数形结合不仅能够拓宽我们的解题思路,而且也能够提高我们的解题能力.
三、逆否法
利用互为逆否命题的等价关系,应用“正难则反”的数学思想,将判断“p?圯q”转化为判断“非q?圯非p”的真假.
例3(1)判断p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么条件;
(2)判断p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么条件.
解(1)原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么条件.
显然非p非q,非q非p,故p是q的既不充分也不必要条件.
(2)原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么条件.
因为非p?圯非q,但非q非p,故p是q的必要不充分条件.
点评当命题含有否定词时,可考虑通过逆否命题等价转化判断.
四、筛选法
用特殊值、举反例进行验证,做出判断,从而简化解题过程.这种方法尤其适合于解选择题.
例4方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是()
A.0
解利用特殊值验证:当a=0时,x=-,排除A,D;当a=1时,x=-1,排除B.因此选C.
点评作为选择题,利用筛选法避免了复杂的逻辑推理过程,使解题方法更加优化,节省了时间,提高了解题的速度,因此同学们应该注意解题方法的选择使用.
五、传递法
充分条件与必要条件具有传递性,即由P1?圯P2,P2?圯P3,…,Pn-1?圯Pn,可得P1?圯Pn.同样,充要条件也有传递性.对于比较复杂的具有一定连锁关系的条件,两个条件间关系的判断也可用传递法来加以处理.
例5已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解由题意可得p?圯r,r?圯s,s?圯q,那么可得p?圯r?圯s?圯q,即p是q的充分不必要条件,故选A.
点评对于两个以上的较复杂的连锁式条件,利用传递性结合符号“?圯”与“”,画出它们之间的关系结构图进行判断,可以直观快捷地处理问题,使问题得以简单化.
1.求三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根的充要条件.
1.三个方程均无实根的充要条件是
Δ1=16a2-4(-4a+3)<0,Δ2=(a-1)2-4a2<0,Δ3=4a2-4(-2a)<0,解得-
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