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高二数学学习：高二数学双曲线方程典例分析

双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.

一、求双曲线的标准方程

求双曲线的标准方程 或 （a、b>0），通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.

例1 求与双曲线 有公共渐近线，且过点 的双曲线的共轭双曲线方程.

解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ，将点 代入，得 ，∴双曲线方程为 ，由共轭双曲线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为 .

评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地，与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 （k?R，且k≠0）；有公共焦点的双曲线方程可设为 ，本题用的是待定系数法.

例2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 ，它的两焦点分别为F1、F2，直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ，且 ， 与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且 ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.

解 以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为 （a>0，b>0），设F2（c，0），不妨设 的方程为 ，它与y轴交点 ，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为 ，由点Q在双曲线上可得 ，又 ，

∴ ， ，∴双曲线方程为 .

评 此例用的是直接法.

二、双曲线定义的应用

1、第一定义的应用

例3 设F1、F2为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=900，求ΔF1PF2的面积.

解 由双曲线的第一定义知， ，两边平方，得 .

∵∠F1PF2=900，∴ ，

∴ ，

∴ .

2、第二定义的应用

例4 已知双曲线 的离心率 ，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线左支上找到一点P，使 是 P到l的距离d与 的比例中项？

解 设存在点 ，则 ，由双曲线的第二定义，得 ，

∴ ， ，又 ，

即 ，解之，得 ，

∵ ，

∴ ， 矛盾，故点P不存在.

评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径 、

或其关系，解题过程将复杂得多.

三、双曲线性质的应用

例5 设双曲线 （ ）的半焦距为c，

直线l过（a，0）、（0，b）两点，已知原点到 的距离为 ，

求双曲线的离心率.

解析 这里求双曲线的离心率即求 ，是个几何问题，怎么把

题目中的条件与之联系起来呢？如图1，

∵ ， ， ，由面积法知ab= ，考虑到 ，

知 即 ，亦即 ，注意到a<>

四、与双曲线有关的轨迹问题

例6 以动点P为圆心的圆与⊙A： 及⊙B： 都外切，求点P的轨迹方程.

解 设动点P（x，y），动圆半径为r，由题意知 ， ， .

∴ .∴ ， ，据 双曲线的定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，方程为 ： .

例 7 如图2，从双曲线 上任一点Q引直线 的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.

解析 因点P随Q的运动而运动，而点Q在已知双曲线上，

故可从寻求 Q点的坐标与P点的坐标之间的关系入手，用转移法达到目的.

设动点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，

则 N点的坐标为 .

∵点 N在直线 上，∴ ……①

又∵PQ垂直于直线 ，∴ ，

即 ……②

联立 ①、②解得 .又∵点N 在双曲线 上，

∴ ，

即 ，化简，得点P的轨迹方程为： .

五、与双曲线有关的综合题

例8 已知双曲线 ，其左右焦点分别为F1、F2，直线l过其右焦点F2且与双曲线 的右支交于A、B两点，求 的最小值.

解 设 ， ，（ 、 ）.由双曲线的第二定义，得

， ，

∴ ，

设直线l的倾角为θ，∵l与双曲线右支交于两点A、B，∴ .

①当 时，l的方程为 ，代入双曲线方程得

.

由韦达定理得： .

∴ .

②当 时，l的方程为 ，∴ ，∴ .

综①②所述，知所求最小值为 .

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