2014-2015学年江苏省苏州市昆山市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）把下列各题中正确答案前面的字母填涂在答题纸相应的位置上．
1．若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A． 0 B． 1 C． ?1 D． ?2
2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A． 12.36 cm B． 13.6 cm C． 32.36 cm D． 7.64 cm
3．下列命题：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②两点之间，线段最短；
③相等的角是对顶角；
④直角三角形的两个锐角互余；
⑤同角或等角的补角相等．
其中真命题的个数是（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
4．使代数式 有意义的x的取值范围（ ）
A． x＞2 B． x≥2 C． x＞3 D． x≥2且x≠3
5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为（ ）
A． 4 B． 16 C． 2 D． 4
7．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（ ）
A． B． C． D．
8．如果小磊将镖随意投中如图所示的正方形木板（假设投中每个小正方形是等可能的），那么镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
二、填空题（每题3分，共24分，把答案直接填在答题纸相应的位置上）
11．命题“如果a=b，那么a2=b2”的逆命题是 ．
12．当a= 时，最简二次根式 与 是同类二次根式．
13．某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是 m．
14．一次函数y=ax+b图象过一、三、四象限，则反比例函数 （x＞0），在每一个象限内，函数值随x的增大而 ．
15．如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： ，使△AOB∽△COD．
16．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种的可能性相同，则两辆汽车经过十字路口全部继续直行的概率为 ．
17．如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线长度为 ．
18．如图，直线y=?2x+2与x轴y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线y= 在第一象限经过点D．则k= ．
三、解答题（本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明）．
19．化简或求值
（1）（1+ ）÷
（2）1? ÷ ，其中a=? ，b=1．
20．计算
（1）
（2） ．
21．解方程： + =2．
22．在一个布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色之外没有任何其它区别，其中有白球3只、红球2只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．
（1）闭上眼睛随机地从袋中取出1只球，求取出的球是黑球的概率；
（2）若取出的第1只球是红球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出1只球，这时取出的球还是红球的概率是多少？
（3）若取出一只球，将它放回袋中，闭上眼睛从袋中再随机地取出1只球，两次取出的球都是白球概率是多少？（用列表法或树状图法计算）
23．如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，?1）、C（2，1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′，并写出点B′、C′的坐标：B′（ ， ），C′（ ， ）；
（2）在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（ ， ）．
24．如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．
25．某商店第一次用6000元购进了练习本若干本，第二次又用6000元购进该款练习本，但这次每本进货的价格是第一次进货价格的1.2倍，购进数量比第一次少了1000本．
（1）问：第一次每本的进货价是多少元？
（2）若要求这两次购进的练习本按同一价格全部销售完毕后获利不低于4500元，问每本售价至少是多少元？
26．如图，一次函数y1=mx+n的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2= （x＜0）交于点C，过点C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．若OB=2，CF=6， ．
（1）求点A的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的表达式．
27．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF
（2）连接AC交EF于点D，延长OC至点M，使OM=OA，连结EM、FM，试证明四边形AEMF是菱形．
28．直线y=x+b与双曲线y= 交于点A（?1，?5）．并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）直接写出b= ，m= ；
（2）根据图象直接写出不等式x+b＜ 的解集为 ；
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图①，在矩形ABCD中，AB= ，BC=3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；
（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．
2014-2015学年江苏省苏州市昆山市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）把下列各题中正确答案前面的字母填涂在答题纸相应的位置上．
1．若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A． 0 B． 1 C． ?1 D． ?2
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，则可得x?1=0且x+2≠0，从而解决问题．
解答： 解：∵x?1=0且x+2≠0，
∴x=1．
故选：B．
点评： 此题考查的是分式的值为零的条件，分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A． 12.36 cm B． 13.6 cm C． 32.36 cm D． 7.64 cm
考点： 黄金分割．
分析： 根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618=12.36cm．
故选：A．
点评： 本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
3．下列命题：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②两点之间，线段最短；
③相等的角是对顶角；
④直角三角形的两个锐角互余；
⑤同角或等角的补角相等．
其中真命题的个数是（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
考点： 命题与定理．
分析： 利用平行线的性质、互余的定义、互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．
解答： 解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误，为假命题；
②两点之间，线段最短，正确，为真命题；
③相等的角是对顶角，错误，为假命题；
④直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；
⑤同角或等角的补角相等，正确，为真命题，
故选B．
点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、互余的定义、互补的定义，难度不大．
4．使代数式 有意义的x的取值范围（ ）
A． x＞2 B． x≥2 C． x＞3 D． x≥2且x≠3
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．
解答： 解：根据题意，得
，
解得，x≥2且x≠3．
故选D．
点评： 本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简二次根式．
分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解答： 解：A、 = ，可化简，故A选项错误；
B、 = =2 ，可化简，故B选项错误；
C、 =|x|，可化简，故C选项错误；
D、 不能化简，是最简二次根式，故D选项正确．
故选：D．
点评： 判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为（ ）
A． 4 B． 16 C． 2 D． 4
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 利用相似三角形的判定和性质，先求出△ADC∽△CDB，再根据对应边成比例，可求出CD的值．
解答： 解：根据题里的已知条件，可知∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠CBD=90°，
所以∠ACD=∠CBD，而∠ADC=∠CDB=90°，
所以△ADC∽△CDB，则 ，
把AD=8，DB=2代入得，CD•CD=AD•DB=2×8=16，
所以CD=4．
故选：A．
点评： 此题运用了相似三角形的判定和性质，两个角对应相等，则两三角形相似．
7．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．
解答： 解：∵AB被截成三等分，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴ ，
∴S△AFG：S△ABC=4：9
S△AEH：S△ABC=1：9
∴S△AFG= S△ABC
S△AEH= S△ABC
∴S阴影部分的面积=S△AFG?S△AEH= S△ABC? S△ABC= S△ABC
故选：C．
点评： 本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．
8．如果小磊将镖随意投中如图所示的正方形木板（假设投中每个小正方形是等可能的），那么镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点： 几何概率．
专题： 几何图形问题．
分析： 看阴影部分的面积占正方形木板面积的多少即可．
解答： 解：阴影部分的面积为2+4=6，
∴镖落在阴影部分的概率为 = ．
故选：A．
点评： 此题考查几何概率的求法；用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
9．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的性质；动点问题的函数图象；等腰三角形的性质．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，则∠ABC=∠ACB=80°．根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得到∠QAC=∠P，得到△APB∽△QAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断．
解答： 解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°
∴∠ACB=80°
又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°
∴∠PAB+∠CAQ=80°
△ABC中：∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°
∴∠AQC=∠PAB
同理：∠P=∠CAQ
∴△APB∽△QAC
∴ ，即 = ．
则函数解析式是y= ．
故选A．
点评： 注意本题不一定要通过求解析式来解决．能够根据角度的关系，联想到△APB∽△QAC是解决本题的关键．
10．如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
分析： 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．
解答： 解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y= 上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3?1=2．
故选：B．
点评： 本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
二、填空题（每题3分，共24分，把答案直接填在答题纸相应的位置上）
11．命题“如果a=b，那么a2=b2”的逆命题是 如果a2=b2，那么a=b ．
考点： 命题与定理．
分析： 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“如果a=b，那么a2=b2”的条件是如果a=b，结论是a2=b2”，故逆命题是如果a2=b2，那么a=b．
解答： 解：“如果a=b，那么a2=b2”的逆命题是：如果a2=b2，那么a=b．
点评： 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．当a= 4 时，最简二次根式 与 是同类二次根式．
考点： 同类二次根式．
分析： 根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
解答： 解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴a?2=10?2a，
解得：a=4．
故答案为4．
点评： 本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
13．某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是 20 m．
考点： 相似三角形的应用．
分析： 设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可．
解答： 解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4=x：5，
解得x=20（m）．
即该旗杆的高度是20m．
故答案为：20．
点评： 本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．
14．一次函数y=ax+b图象过一、三、四象限，则反比例函数 （x＞0），在每一个象限内，函数值随x的增大而 增大 ．
考点： 反比例函数的性质；一次函数图象与系数的关系．
分析： 首先根据一次函数y=ax+b图象过一、三、四象限可以判定a＞0，b＜0，即判断出反比例函数系数ab＜0，再根据反比例函数的性质即可写出正确答案．
解答： 解：∵一次函数y=ax+b图象过一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴反比例函数 （x＞0）的图象位于第二、四象限内，在每一个象限内，函数值随x的增大而增大，
故答案为增大．
点评： 本题主要考查了反比例函数y= （k≠0）的性质和一次函数图象与系数关系的知识点，重点掌握反比例函数的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
15．如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： AB∥CD（答案不唯一） ，使△AOB∽△COD．
考点： 相似三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 题中已给出一组对顶角相等，我们只要再给出另一组对应角相等，或两组对应边成比例即可．
解答： 解：∵∠COD=∠AOB，
∴只要∠OAB=∠OCD，∠ODC=∠OBA，∠OAB=∠ODC，∠OCD=∠OBA，AB∥CD等等，其中一项符合即可，答案不唯一．
点评： 本题考查了三角形相似的性质，答案不唯一．
16．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种的可能性相同，则两辆汽车经过十字路口全部继续直行的概率为 ．
考点： 列表法与树状图法．
专题： 图表型．
分析： 画出树状图，然后根据概率公式解答即可．
解答： 解：根据题意，画出树状图如下：
一共有9种情况，两辆汽车经过十字路口全部继续直行的有1种情况，
所以，P（两辆汽车经过十字路口全部继续直行）= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线长度为 3 ．
考点： 相似三角形的应用；坐标与图形性质．
专题： 跨学科．
分析： 如图设A关于x轴的对称点A'坐标是（0，?1），作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，在Rt△A'BD中，利用勾股定理即可求出A'B，也就求出了从A点到B点经过的路线长．
解答： 解：A关于x轴的对称点A'坐标是（0，?1）连接A′B，交x轴于点C，
作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，
故光线从点A到点B所经过的路程A'B= = =3 ．
故答案为：3 ．
点评： 考查了相似三角形的应用级坐标与图形性质的知识，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等难度题目．
18．如图，直线y=?2x+2与x轴y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线y= 在第一象限经过点D．则k= 3 ．
考点： 反比例函数综合题．
专题： 计算题．
分析： 作DE⊥x轴，垂足为E，连OD．证出△BOA≌△AED，得到AE=BO，AO=DE，从而求出S△DOE，根据反比例函数k的几何意义，求出k的值．
解答： 解：作DE⊥x轴，垂足为E，连OD．
∵∠DAE+∠BAO=90°，∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠DAE=∠OBA，
又∵∠BOA=∠AED，AB=DA，
∴△BOA≌△AED（HL），
∴OA=DE．
∵y=?2x+2，可知B（0，2），A（1，0），
∴OA=DE=1，
∴OE=OA+AE=1+2=3，
∴S△DOE= •OE•DE= ×3×1= ，
∴k= ×2=3．
故答案为：3．
点评： 本题主要考查了反比例函数k的几何意义，构造△BOA≌△AED是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明）．
19．化简或求值
（1）（1+ ）÷
（2）1? ÷ ，其中a=? ，b=1．
考点： 分式的化简求值；分式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（1）原式= ÷ = • = ；
（2）原式=1? • =1? = = ，
当a=? ，b=1时，原式=4．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．计算
（1）
（2） ．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： （1）先根据二次根式的乘除法则运算，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
解答： 解：（1）原式= ? +2
=4? +2
=4+ ；
（2）原式=5? + ?1
=4+ ．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
21．解方程： + =2．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：3?x=2x?4，
解得：x= ，
经检验x= 是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．在一个布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色之外没有任何其它区别，其中有白球3只、红球2只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．
（1）闭上眼睛随机地从袋中取出1只球，求取出的球是黑球的概率；
（2）若取出的第1只球是红球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出1只球，这时取出的球还是红球的概率是多少？
（3）若取出一只球，将它放回袋中，闭上眼睛从袋中再随机地取出1只球，两次取出的球都是白球概率是多少？（用列表法或树状图法计算）
考点： 列表法与树状图法．
专题： 图表型．
分析： （1）根据概率的意义解答；
（2）根据袋中还剩5只球，然后根据概率的意义解答；
（3）列出图表，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
解答： 解：（1）∵一共有6只球，黑球1只，
∴取出的球是黑球的概率为 ；
（2）∵取出1只红球，
∴袋中还有5只球，还有1只红球，
∴取出的球还是红球的概率是 ；
（3）根据题意列表如下：
白1 白2 白3 红1 红2 黑
白1 白1白1 白1白2 白1白3 白1红1 白1红2 白1黑
白2 白2白1 白2白2 白2白3 白2红1 白2红2 白2黑
白3 白3白1 白3白2 白3白3 白3红1 白3红2 白3黑
红1 红1白1 红1白2 红1白3 红1红1 红1红2 红1黑
红2 红2白1 红2白2 红2白3 红2红1 红2红2 红2黑
黑 黑 白1 黑 白2 黑 白3 黑 红1 黑 红2 黑 黑
一共有36种情况，两次取出的球都是白球的情况数有9种，
所以，P（两次取出的球都是白球）= = ．
点评： 本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，?1）、C（2，1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′，并写出点B′、C′的坐标：B′（ ?6 ， 2 ），C′（ ?4 ， ?2 ）；
（2）在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（ ?2x ， ?2y ）．
考点： 作图-位似变换．
专题： 网格型．
分析： （1）延长BO，CO，根据相似比，在延长线上分别截取AO，BO，CO的2倍，确定所作的位似图形的关键点A'，B'，C'再顺次连接所作各点，即可得到放大2倍的位似图形△OB'C'；再根据点的位置写出点的坐标即可；
（2）M′的坐标的横坐标、纵坐标分别是M的坐标的2倍的相反数．
解答： 解：（1）如图（2分）
B′（?6，2），C′（?4，?2）
（2）M′（?2x，?2y）．
点评： 本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
24．如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： （1）利用已知条件易证AB∥DE，进而证明△DCE∽△BCA；
（2）首先证明AE=DE，设DE=x，所以CE=AC?AE=AC?DE=4?x，利用（1）中相似三角形的对应边成比例即可求出x的值，即DE的长．
解答： （1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DA，
∵∠EAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AB∥DE，
∴△DCE∽△BCA；
（2）解：∵∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
设DE=x，
∴CE=AC?AE=AC?DE=4?x，
∵△DCE∽△BCA，
∴DE：AB=CE：AC，
即x：3=（4?x）：4，
解得：x= ，
∴DE的长是 ．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大．
25．某商店第一次用6000元购进了练习本若干本，第二次又用6000元购进该款练习本，但这次每本进货的价格是第一次进货价格的1.2倍，购进数量比第一次少了1000本．
（1）问：第一次每本的进货价是多少元？
（2）若要求这两次购进的练习本按同一价格全部销售完毕后获利不低于4500元，问每本售价至少是多少元？
考点： 分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析： （1）设第一次每本的进货价是x元，根据提价之后用6000元购进数量比第一次少了1000本，列方程求解；
（2）设售价为y元，根据获利不低于4500元，列不等式求解．
解答： 解：（1）设第一次每本的进货价是x元，
由题意得， ? =1000，
解得：x=1．
答：第一次每本的进货价是1元；
（2）设售价为y元，
由题意得，（6000+5000）y?12000≥4500，
解得：y≥1.5．
答：每本售价为1.5元．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
26．如图，一次函数y1=mx+n的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2= （x＜0）交于点C，过点C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．若OB=2，CF=6， ．
（1）求点A的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的表达式．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： （1）利用 = ，OE=CF=6，可计算出OA=2，于是得到A点坐标为（?2，0）；
（2）由于B点坐标为（0，?2），则可利用待定系数法求出一次函数解析式为y1=?x?2，再利用一次函数解析式确定C点坐标为（?6，4），根据反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=?24，所以反比例函数解析式为y2=? ．
解答： 解：（1）∵ = ，
而OE=CF=6，
∴OA=2，
∴A点坐标为（?2，0）；
（2）B点坐标为（0，?2），
把A（?2，0）、B（0，?2）代入y1=mx+n得 ，即得 ，
∴一次函数解析式为y1=?x?2；
把x=?6代入y1=?x?2得y=6?2=4，
∴C点坐标为（?6，4），
∴k=?6×4=?24，
∴反比例函数解析式为y2=? ．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
27．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF
（2）连接AC交EF于点D，延长OC至点M，使OM=OA，连结EM、FM，试证明四边形AEMF是菱形．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF；
（2）求出CE=CF，然后利用“边边边”证明△AEC和△AFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠FAC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EM=FM，再判断出EF垂直平分AM，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EM，然后根据四条边都相等的四边形是菱形证明．
解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中， ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF；
（2）解：∵BC=CD，BE=DF，
∴BC?BE=CD?CF，
即CE=CF，
在△AEC和△AFC中， ，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EM=FM，
∵OM=OA，
∴EF垂直平分AM，
∴AE=EM，
∴AE=EM=FM=AF，
∴四边形AEMF是菱形．
点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，（1）熟记正方形的性质并确定出全等三角形是解题的关键，（2）熟练掌握等腰三角形三线合一的性质以及菱形的判定方法是解题的关键．
28．直线y=x+b与双曲线y= 交于点A（?1，?5）．并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）直接写出b= ?4 ，m= 5 ；
（2）根据图象直接写出不等式x+b＜ 的解集为 x＜?1或0＜x＜5 ；
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 反比例函数综合题．
分析： （1）把A的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，即可求得b和m的值；
（2）根据图象即可直接写出，即反比例函数的图象在一次函数的图象上部的部分x的取值；
（3）求得△OAB的边长，点D在x轴的正半轴上，可以分D在线段OC上（不在O点）或线段OC的延长线上两种情况讨论，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得．
解答： 解：（1）把A（?1，?5）代入y=x+b得：?5=?1+b，解得：b=?4．
把A（?1，?5）代入y= ，得：m=（?1）（?5）=5．
故答案是：?4，5；
（2）解集为：x＜?1或0＜x＜5，
故答案是：x＜?1或0＜x＜5；
（3）OA= = ，
在y=x?4中，令x=0，解得y=?4，则B的坐标是（0，?4）．
令y=0，解得：x=4，则C的坐标是（4，0）．
故OB=4，AB= = ，BC=4 ，OC=4．
∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，∠BCE=135°．
过A作AD⊥y轴于点D．则△ABD是等腰直角△，∠ABD=45°，∠ABO=135°．
1）当D在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似；
2）当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是（x，0），则CD=x?4，
∠ABO=∠BCD=135°，
当△AOB∽△DBC时， = ，即 = ，
解得：x=6，
则D的坐标是（6，0）；
当△AOB∽△BDC时， ，即 = ，
解得：x=20，
则D的坐标是（20，0）．
则D的坐标是（6，0）或（20，0）．
点评： 本题是一次函数、反比例函数与相似三角形的判定与性质的综合应用，注意到∠ABO=∠BCD=135°是本题的关键．
29．如图①，在矩形ABCD中，AB= ，BC=3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；
（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．
考点： 相似形综合题．
分析： （1）过P作PQ⊥BC，垂足为Q，由四边形ABCD为矩形，得到∠B为直角，且AD∥BC，得到PQ=AB，又△PEF为等边三角形，根据“三线合一”得到∠FPQ为30°，在Rt△PQF中，设出QF为x，则PF=2x，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长；
（2）PH?BE=1，过E作ER垂直于AD，如图所示，首先证明△APH为等腰三角形，在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得∠APE=60°，在Rt△PER中，∠REP=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由PE求出PR，由PA=PH，则PH?BE=PA?BE=PA?AR=PR，即可得到两线段的关系；
（3）当若△PEF的边EF在射线CB上移动时（2）中的结论不成立，由（2）的解题思路可知当1＜CF＜2时，PH=1?BE，当2＜CF＜3时，PH=BE?1．
解答： 解：（1）过P作PQ⊥BC于Q（如图1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又∵AD∥BC，
∴PQ=AB= ，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ=60°，
在Rt△PQF中，∠FPQ=30°，
设PF=2x，QF=x，PQ= ，根据勾股定理得：（2x）2=x2+（ ）2，
解得：x=1，故PF=2，
∴△PEF的边长为2；
（2）PH?BE=1，理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB= ，BC=3，
∴由勾股定理得AC=2 ，
∴CD= AC，
∴∠CAD=30°
∵AD∥BC，∠PFE=60°，
∴∠FPD=60°，
∴∠PHA=30°=∠CAD，
∴PA=PH，
∴△APH是等腰三角形，
作ER⊥AD于R（如图2）
Rt△PER中，∠RPE=60°，
∴PR= PE=1，
∴PH?BE=PA?BE=PR=1．
（3）结论不成立，
当1＜CF＜2时，PH=1?BE，
当2＜CF＜3时，PH=BE?1．
点评： 此题综合考查了矩形的性质，等腰三角形的判别与性质、等边三角形的性质及直角三角形的性质．学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量代换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系．
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