初三数学教案 二次函数与一元二次方程

23.4 二次函数与一元二次方程

教学目标：

掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。

重点、难点：

二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。

教学过程：

一、 情境创设

一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标

问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点?

问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点?可以借助什么来研究?

二、探索活动

活动一 观察

在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况;任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。

活动二 观察与探索

如图1，观察二次函数y=x2x6的图象，回答问题:

(1)图象与x轴的交点的坐标为A ( ， ),B( ， )

(2)当x= 时，函数值y=0。

(3)求方程x2x6=0的解。

(4)方程x2x6=0的解和交点坐标有何关系?

活动三 猜想和归纳

(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗?猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。

(2)一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断?

这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。

三、例题分析

例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。

(1) y=x210x+25

(2) y=3x24x+2

(3) y=2x2+3x1

例2.已知二次函数y=mx2+x1

(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点

(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点?

(3)当m为何值时，图象与x轴无交点?

四、拓展练习

1. 如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。

(1)请写出方程ax2+bx+c=0的根

(2)列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4, 0)，且适合这个图象。

2. 列举一个二次函数，使其图象开口向上，且与x轴交于(2,0)和(1,0)

五、小结

这节课我们有哪些收获?

六、作业

求证：二次函数y= x2+ax+a2的图象与x轴一定有两个不同的交点。