第二十九章 投影与视图
29．1 投影
01 基础题
知识点1 平行投影
1．平行投影中的光线是(A)
A．平行的 B．聚成一点的
C．不平行的 D．向四面发散的
2．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是(D)
3．太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是(A)
A．与窗户全等的矩形
B．平行四边形
C．比窗户略小的矩形
D．比窗户略大的矩形
4．(保定章末测试)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为9.6米．
知识点2 中心投影
5．下列光线所形成的投影不是中心投影的是(A)
A．太阳光线 B．台灯的光线
C．手电筒的光线 D．路灯的光线
6．(保定章末测试)如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子(C)
A．逐渐变短
B．逐渐变长
C．先变短后变长
D．先变长后变短
7．如图，一盏路灯O、电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路一侧的一直线上，AB，CD，EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB，CD在灯光下的影长分别为BM＝1.6 m，DN＝0.6 m.
(1)请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；
(2)求标杆EF的影长．
解：(1)如图．
(2)连接AE，则AE∥MP.
设EF的影长为x m，由相似三角形知识得：
ACMN＝OCON＝CENP，即21.6＋2－0.6＝20.6＋2＋x，
解得x＝0.4.
答：EF的影长为0.4 m.
知识点3 正投影
8．一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是(D)
A．AB＝CD B．AB≤CD
C．AB>CD D．AB≥CD
9．(南宁中考)把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是(A)
10．小明拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能的是(A)
02 中档题
11．(保定章末测试)在太阳光下，转动一个正方体，观察正方体在地上投下的影子，那么这个影子最多可能是几边形(C)
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
12．(x疆中考)如图，某小区内有一条笔直的小路，路的正中间有一路灯，晚上小华由A处走到B处，将她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是(C)
13．(卢龙模拟)如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD＝60°，则AB的长为(A)
A.3米 B.12米
C.32米 D.33米
14．(保定章末测试)如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影长度(C)
A．变长3.5米 B．变长1.5米
C．变短3.5米 D．变短1.5米
15．(佛山中考)如图，在水平地面上竖立着一 面墙AB，墙外有一盏路灯D.光线DC恰好通过墙的最高点B，且与地面形成37°角．墙在灯光下的影子为线段AC，并测得AC＝5.5米．
(1)求墙AB的高度；(结果精确到0.1米，参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)
(2)如果要缩短影子AC的长度，同时不能改变墙的高度和位置，请你写出两种不同的方法．
解：(1)在Rt△ABC中，AC＝5.5米，∠C＝37°，
tanC＝ABAC，
∴AB＝AC•tanC≈5.5×0.75≈4.1(米)．
(2)第一种方法是增加路灯D的高度，第二种方法是使路灯D向墙靠近．
29.2 三视图
第1课时 几何体的三视图
01 基础题
知识点1 三视图的有关概 念
1．(义乌中考)如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是(A)
2．(温州中考)某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是(C)
3．(宁波中考)如图所示的几何体的俯视图为(D)
4．(宜昌中考)将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是(A)
5．(临沂中考)如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是(D)
6．(迁安一模)下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是(C)
7．(襄阳中考)如图所示的几何体是由6个大小完全一样的正方体组合而成的，它的俯视图是(A)
8．(丽水中考)如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是(B)
A．俯视图与主视图相同
B．左视图与主视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．三个视图都相同
9．(济宁中考)下列几何体中，主视图、俯视图、左视图都相同的是(B)
10．用12个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，标有正确小正方体个数的俯视图是(A)
知识点2 三视图的画法
11．(杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是(A)
12．画出如图所示几何体的三视图．
解：如图．
02 中档题
13．(河北中考)如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是(A)
14．(邢台临城县一模)如图所示的几何体的俯视图是(D)
15．(菏泽中考)下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是(C)
16．一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把由 圆锥与圆柱组成的几何体(如图所示，圆锥在圆柱上底面正中间放置)摆在讲桌上，请分别画出这个几何体的三视图(从正面、左面、上面看得到的视图)．
解：如图.
17．一种机器上有一个进行转动的零件叫燕尾槽(如图)，为了准确做出这个零件，请画出它的三视图．
解：如图.
03 综合题
18．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目叫《墙来了！》．选手需按墙上的空洞造型 摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为下列几何体中的哪一个？选择并说明理由．
解：比较各几何体的三视图，考虑是否有短形，圆及三角形即可．对于A，三视图分别为短形、三角形、圆(含直径)，符合题意；对于B，三视图分别为三角形、三角形、圆(含圆心)，不符合题意；对于C，三视图分别为正方形、正方形、正方形，不符合题意；对于D，三视图分别为三角形、三角形、矩形(含对角线)，不符合题意．故选A.
第2课时 由三视图确定几何体
01 基础题
知识点 由三视图确定几何体
1 ．(金华中考)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是(D)
A．球体
B．圆锥
C．立方体
D．圆柱
2．(x疆中考)某几 何体的三视图如图所示，则该几何体是(D)
A．球 B．圆柱
C．三棱锥 D．圆锥
3．(承德六校一模)如图是某几何体的三视图，则该几何体是(C)
A．圆锥 B．圆柱
C．正三棱柱 D．正三棱锥
4．(云南中考)若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是(C)
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．正方体
5．(武汉中考)某物体的主视图如图所示，则该物体可能为(A)
6．(唐山古冶区一模)如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是(A)
7．(聊城中考)如图是由若干个小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体的主视图是(C)
8．(河北中考)图中的三视图所对应的几何体是(B)
9．(深圳模拟)如图是一个几何体的俯视图，则该几何体可能是(B)
02 中档题
10．(金华中考)一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是(D)
11．(唐山路南区一模)如图为某几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数是(A)
A．5 B．6 C．7 D．8
12．(怀化中考)如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，其中主视图相同的是(B)
A．仅有甲和乙相同
B．仅有甲和丙相同
C．仅有乙和丙相同
D．甲、乙、丙都相同
13．(保定莲池区模拟)一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为(B)
A．11 B．12 C．13 D．14
解析：因为右上角的盘子有5个，左下角的盘子有3个，左上角的盘子有4个，3＋4＋5＝12(个)，故选B.
14．用4个棱长为1的正方体搭成一个几何体模型，其主视图与 左视图如图所示，则该立方体的俯视图不可能是(D)
15．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是(C)
A．5或6或7 B．6或7
C．6或7 或8 D．7或8或9
16．根据如图所示的几何体的三视图描述物体的形状．
解：几何体的形状为：
03 综合题
17．某个长方体的主视图是边长为1 cm的正方形．沿这个正方形的对角线向垂直于正方形的方向将长方体切开，截面是一个正方形．那么这个长方体的俯视图是(D)
第3课时 由三视图确定几何体的表面积或体积
01 基础题
知识点1 几何体的展开图
1．(保定章末测试)一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是(A)
A．四棱锥 B．四棱柱
C．三棱锥 D．三棱柱
2．(宜昌中考)如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，与“爱”字一面的相对面上的字是(C)
A．美 B．丽 C．宜 D．昌
3．(唐山路南区模拟)下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是(A)
4．(梧州中考)如图是一个圆锥，下列平面图形中既不是它的三视图，也不是它的侧面展开图的是(D)
5．(舟山中考)一个正方体 的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是(C)
A．中
B．考
C．顺
D．利
6．(唐山丰南区一模)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的展开图可以是(A)
知识点2 由三视图确定几何体的表面积或体积
7．(连云港中考)由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的主视图、左视图和俯视图的面积，则(C)
A．三个视图的面积一样大
C．主视图的面积最小
C．左视图的面积最小
D．俯视图的面积最小
8．(湖州中考)如图是按1∶10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是(D)
A．200 cm2 B．600 cm2
C．100π cm2 D．200π cm2
9．(河北模拟)如图是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是24cm3.
10．如图是某几何体的展开图．
(1)这个几何体的名称是圆柱；
(2)画出这个几何体的三视图；
(3)求这个几何体的体积．(π取3.14)
解：(2)三视图为：
(3)体积为πr2h≈3.14×52×20＝1 570.
02 中档题
11．(呼和浩特中考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(D)
A．4π B． 3π
C．2π＋4 D．3π＋4
12．(呼和浩特中考)如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为(B)
A．60π B．70π
C．90π D．160π
13．(滨州中考)如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为15π＋12．
解析：由三视图可以看出这是一个残缺的圆柱，侧面是由一个曲 面和两个长方形构成，上下底面是两个扇形，S侧＝34×2π×2×3＋2×3＋2×3＝9π＋12，S底面＝2×34×π×22＝6π.所以这个几何体的表面积为15π＋12.
14．(石家庄四十二中一模)由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体的俯视图如图所示．方格中的数字表示该位置的小立方块的个数．
(1)请在下面方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图．
(2)根据三视图，请你求出这个组合几何体的表面积(包括底面积)．
解：(1)如图．
(2)几何体的表面积为：(3＋4＋5)×2＝24.
15．如图是某工件的三视图，求此工件的全面积．
解：由三视图可知，该工件是底面半径为10 cm，高为30 cm的圆锥．
圆锥的母线长为302＋102＝1010(cm)，
圆锥的侧面积为12×20π×1010＝10010π(cm2)，
圆锥的底面积为102×π＝100π(cm2)，
圆锥的全面积为100π＋10010π＝100(1＋10)π(cm2)．
03 综合题
16．如图是一个几何体的三视图(单位：厘米)．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．
解：(1)圆锥．
(2)S表＝S扇形＋S圆＝πrl＋πr2＝12π＋4π＝16π(平方厘米)．
(3)如图，将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程．
由条件得，∠BAB′＝120°，
∵C为弧BB′的中点，AB＝6厘米，
∴BD＝33厘米．
章末复习(四) 投影与视图
01 基础题
知识点1 投影
1．如图，箭头表示投影线的方向，则图中热水瓶的正投影是(A)
2．如图所示，夜晚路灯下同样高的旗杆，离路灯越近，它的影子(B)
A．越长
B．越短
C．一样长
D．无法确定
3．如图所示，分别是两棵树及其影子的情形．
(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？你是用什么方法判断的？试画图说明；
(2)在两幅图中画出人的影子．
图1
图2
解：(1)图1是路灯下的情形；图2是阳光下的情形；如图所示，作出光线，光线互相平行，说明是阳光下的投影；光线交于一点，说明是路灯下的投影．
(2)人的影子如图所示．
知识点2 三视图
4．(自贡中考)下面几何体中，主视图是矩形的是(A)
5．如图所示的四个几何体，其中左视图与俯视图相同的几何体共有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．(成都中考)如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体搭成，其俯视图是(C)
7．(石家庄四十二中一模)某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是(C)
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
8．(大庆中考)由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这个几何体的小正方体有(B)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
9．(青岛中考)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为48＋123．
02 中档题
10．(枣庄中考)有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置(如图)，请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是(C)
A．白 B．红 C．黄 D．黑
11．如图1是一个正三棱柱毛坯，将其截去一部分，得到一个工件如图2.对于这个工件，俯视图、主视图依次是(D)
A．c，a B．c，d C．b，d D．b，a
12．如图是由一些大小相同的小立方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的个数不可能是(D)
A．3 B．4 C．5 D．6
13．如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为(B)
A．236π B．136π
C．132π D．120π
14．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m宽的亮区DE，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE＝8.7 m，窗高AB＝1.8 m，那么窗口底边离地面的高度BC＝4m.
解析：∵AE∥BD，∴Rt△AEC∽Rt△BDC.∴BCAC＝DCEC.设BC为x，则AC＝x＋1.8，EC＝8.7，DC＝EC－ED＝8.7－2.7＝6，∴可得方程x6＝x＋1.88.7.解得x＝4.∴窗口底边离地面的高度BC＝4 m.
15．(北京中考)如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为3m.
解析：如图，因为小军、小珠都是身高与影长相等，∴∠E＝∠F＝45°.∴A B＝BE＝BF.设路灯的高AB为x m，则BD＝x－1.5，BC＝x－1.8.又CD＝2.7，∴x－1.5＋x－1.8＝2.7.解得x＝3.
03 综合题
16．某兴趣小组开展课外活动，A、B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他(GH)在同一灯光下的影长为BH(点C、E、G在一条直线上)．
(1)请在图中画出光源O点的位置，并画出位于点F时在这个灯光下的影长FM(不写画法)；
(2)求小明原来的速度．
解：(1)如图．
(2)设小明原来的速度为x m/s，则AD＝DF＝CE＝2x m，FH＝EG＝3x m，AM＝(4x－1.2)m，BM＝(13.2－4x)m.
∵CG∥AB，
∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB.
∴CEAM＝OEOM，EGMB＝OEOM.
∴CEAM＝EGMB，即2x4x－1.2＝3x13.2－4x.
∴20x2－30x＝0.
解得x1＝1.5，x2＝0(不合题意，舍去)．
经检验，x＝1.5是原方程的解，故x＝1.5.
答：小明原来的速度为1.5 m/s.
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