2018年福建省龙岩市永定县金丰片中考数学一模试卷
　
一、选择题： 本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）8的立方根是（　　）
A．2 B．±2 C．  D．4
2．（4分）如图所示的工件，其俯视图是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
3．（4分）下列实数中的无理数是（　　）
A．  B．π C．0 D．
4．（4分）下列各式计算正确的是（　　）
A．a2+2a3=3a5 B．（a2）3=a5 C．a6÷a2=a3 D．a•a2=a3
5．（4分）下列国旗图案是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
6．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（　　）
 
A．  B．  C．  D．
7．（4分）若x+5＞0，则（　　）
A．x+1＜0 B．x?1＜0 C． ＜?1 D．?2x＜12
8．（4分）如图，▱ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则 的长为（　　）
 
A． π B． π C． π D． π
9．（4分）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（　　）
A．若m＞1，则（m?1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m?1）a+b＜0
C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0
10．（4分）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米， ≈1.414）（　　）
 
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
　
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）当a，b互为相反数，则代数式a2+ab?2的值为　   　．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin =　   　．
13．（4分）当x 　   　时，二次根式 有意义．
14．（4分）若 •|m|= ，则m=　   　．
15．（4分）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB ′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是　   　．
 
16．（4分）如图，直线y=x+2与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点P，若OP= ，则k的值为　   　．

　
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算： ．
18．（8分）先化简，再求值： ，其中a=?4．
19．（8分）解不等式组
20．（8分）解方程：  =1? ．
21．（8分）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“ 足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2018年单价为200元，2018年单价为162元．
（1）求2018年到2018年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
 
试问去哪个商场购买足球更优惠？
22．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥ DE于点F，∠ EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值．
 
23．（10分）主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：
A．放下自我，彼此尊重；  
B．放下利益，彼此平衡；
C．放下性格，彼此成就；  
D．合理竞争，合作双赢．
要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制了如图两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
 观点 频数  频率
 A  a  0.2
 B  12  0.24
 C  8  b
 D  20  0.4
（1）参加本次讨论的学生共有　   　人；
（2）表中a=　   　，b=　   　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）现准备从A，B，C，D四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率．
 
24．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD= ，求 的值．
 
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2?4x?5与x轴分别交于A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，直线AP与y轴正半轴交于点M，交抛物线于点P，直线AQ与y轴负半轴交于点N，交抛物线于点Q，且OM=ON，过P、Q作直线l
（1）探究与猜想：
①取点M（0，1），直接写出直线l的解析式；
取点M（0，2），直接写出直线l的解析式；
②猜想：
我们猜想直线l的解析式y=kx+b中，k总为定值，定值k为　   　，请取M的纵坐标为n，验证你的猜想；
（2）连接BP、BQ．若△ABP的面积等于△ABQ的面积的3倍，试求出直线l的解析式．
 
　
 

2018年福建省龙岩市永定县金丰片中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）8的立方根是（　　）
A．2 B．±2 C．  D．4
【解答】解：8的立方根是2，
故选：A．
　
2．（4分）如图所示的工件，其俯视图是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，?圆是虚线，
故选：B．
　
3．（4分）下列实数中的无理数是（　　）
A．  B．π C．0 D．
【解答】解： ，0， 是有理数，
π是无理数，
故选：B．
　
4．（4分）下列各式计算正确的是（　　）
A．a2+2a3=3a5 B．（a2）3=a5 C．a6÷a2=a3 D．a•a2=a3
【解答】解：A、a2与2a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
C、a6÷a2=a6?2=a4 ，故本选项错误；
D、a•a2=a1+2=a3，故本选项正确．
故选：D．
　
5．（4分）下列国旗图案是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项 不符合题意．
故选：B．
　
6．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴ = = = ，
则 = ，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
　
7．（4分）若x+5＞0，则（　　）
A．x+1＜0 B．x?1＜0 C． ＜?1 D．?2x＜12
【解答】解：∵x+5＞0，
∴x＞?5，
A、根据x+1＜0得出x＜?1，故本选项不符合题意；
B、根据x?1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；
C、根据 ＜?1得出x＜?5，故本选项不符合题意；
D、根据?2x＜12得出x＞?6，故本选项符合题意；
故选：D．
　
8．（4分）如图，▱ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则 的长为（　　）
 
A． π B． π C． π D． π
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠O ED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°?2×70°=40°，
∴ 的长= = ；
故选：B．
 
　
9．（4分）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（　　）
A．若m＞1，则（m?1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m?1）a+b＜0
C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0
【解答】解：由对称轴，得
b=?2a．
（m+1）a+b=ma+a?2a=（m?1）a，
当m＞1时，（m?1）a+b=（m?1）a?2a=（m?3）a，（m?1）a+b与0无法判断．
当m＜1时，（m+1）a+b=（m+1）a?2a=（m?1）a＞0．
故选：C．
　
10．（4分）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米， ≈1.414）（　　）
 
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
【解答】解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，
∵∠BDB '=∠B'DC=22.5°，
∴EB'=B'F，
∵∠BEB′=45°，
∴EB′=B′F=10√2，
∴DF=20+10√2，
∴DC=DF+FC=20+10√2+1.6≈35.74=35.7，
故选：C．
 
　
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分） 当a，b互为相反数，则代数式a2+ab?2的值为　?2　．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2+ab?2=a（a+b）?2=0?2=?2，
故答案为：?2．
　
12．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin =　 　．
【解答】解：∵sinA= = ，
∴∠A=60°，
∴sin =sin30°= ．
故答案为： ．
　
13．（4分）当x 　≤2　时，二次根式 有意义．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：2?x≥0，
解得：x≤2．
故答案为：≤2．
　
14．（4分）若 •|m|= ，则m=　3或?1　．
【解答】解：由题意得，
m?1≠0，
则m≠1，
（m?3）•|m|=m?3，
∴（m?3）•（|m|?1）=0，
∴m=3或m=±1，
∵m≠1，
∴m=3或m=?1，
故答案为：3或?1．
　
15．（4分）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是　（?2， ）　．
 
【解答】解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，
又∵B（3，?2）
∴B′的坐标是[3× ，?2× ]，即B′的坐标是（?2， ）；
故答案为：（?2， ）．
　
16．（4分）如图，直线y=x+2与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点P，若OP= ，则k的值为　3　．
 
【解答】解：设点P（m，m+2），
∵OP= ，
∴ = ，
解得m1=1，m2=?3（不合题意舍去），
∴点P（1，3），
∴3= ，
解得k=3．
故答案为：3．
　
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算： ．
【解答】解：原式= ?1?2+
=4?3+
= ．
　
18．（8分）先化简，再求值： ，其中a=?4．
【解答】解：当a=?4时，
原式= • ?
= ?
=
=
　
19．（8分）解不等式组
【解答】解：
由①得x≤3，
由②得x＜?3，
∴原不等式组的解集是x＜?3．
　
20．（8分）解方程：  =1? ．
【解答】解：去分母得：2x=x?2+1，
移项合并得：x=?1，
经检验x=?1是分式方程的解．
　
21．（8分）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2018年单价为200元，2018年单价为162元．
（1）求2018年到2018年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
 
试问去哪个商场购买足球更优惠？
【解答】解：（1）设2018年到2018年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得：200×（1?x）2=162，
解得：x=0.1=10%或x=1.9（舍去）．
答：2018年到2018年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．
（2）100× = ≈90.91（个），
在A商城需要的费用为162×91=14742（元），
在B商城需要的费用为162×100× =14580（元）．
14742＞14580．
答：去B商场购买足球更优惠．
　
22．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值．
 
【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，

（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴ =
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴ ，
∴ =
　
23．（10分）主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：
A．放下自我，彼此尊重；  
B．放下利益，彼此平衡；
C．放下性格，彼此成就；  
D．合理竞争，合作双赢．
要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制了如图两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
 观点 频数  频率
 A  a  0.2
 B  12  0.24
 C  8  b
 D  20  0.4
（1）参加本次讨论的学生共有　50　人；
（2）表中a=　10　，b=　0.16　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）现准备从A，B，C，D四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率．
 
【解答】解：
（1）总人数=12÷0.24=50（人），
故答案为：50；
（2）a=50×0.2=10，b= =0.16，
故答案为：
（3）条形统计图补充完整如图所示：
 
（4）根据题意画出树状图如下：
 
由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D（合理竞争，合作双赢）的概率有6种，
所以选中观点D（合理竞争，合作双赢） 的概率= = ．
　
24．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD= ，求 的值．
 
【解答】（1）证明：连接OC，
 
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AD，
∴AD∥OC，
∴∠CAD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAD=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）解：连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．
 
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，
∴四边形DEHC是矩形，
∴∠EHC=90°即OC⊥EB，
∴DC=EH=HB，DE=HC，
∵cos∠CAD= = ，设AD=4a，AC=5a，则DC=EH=HB=3a，
∵cos∠CAB= = ，
∴AB= a，BC= a，
在RT△CHB中，CH= = a，
∴DE=CH= a，AE= = a，
∵EF∥CD，
∴ = = ．
　
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2?4x?5与x轴分别交于A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，直线AP与y轴正半轴交于点M，交抛物线于点P，直线AQ与y轴负半轴交于点N，交抛物线于点Q，且OM=ON，过P、Q作直线l
（1）探究与猜想：
①取点M（0，1），直接写出直线l的解析式；
取点M（0，2），直接写出直线l的解析式；
②猜想：
我们猜想直线l的解析式y=kx+b中，k总为定值，定值k为　6　，请取M的纵坐标为n，验证你的猜想；
（2）连接BP、BQ．若△ABP的面积等于△ABQ的面积的3倍，试求出直线l的解析式．
 
【解答】解：（1）①当M（0，1）时，由OM=ON知N（0，?1），
设直线AM解析式为y=k1x+b1，
将点A（?1，0）、M（0，1）得： ，
解得： ，
则直线AM解析式为y=x+1，
由 可得 或 ，则P（6，7），
设直线AN解析式为y=k2x+b2，
将点A（?1，0）、N（0，?1）得： ，
解得： ，
则直线AN解析式为y=?x?1，
由 可得 或 ，则Q（4，?5），
设直线PQ解析式为y=k3x+b3，
则 ，解得： ，
则直线PQ解析式为y=6x?29；
当M为（0，2）时，由OM=ON知N（0，?2），
设直线AM解析式为y=m1x+n1，
将点A（?1，0）、M（0，2） 得： ，
解得： ，
则直线AM解析式为y=2x+2，
由 可得 或 ，则P（7，16），
设直线AN解析式为y=m2x+n2，
将点A（?1，0）、N（0，?2）得： ，
解得： ，
则直线AN解析式为y=?2x?2，
由 可得 或 ，则Q（3，?8），
设直线PQ解析式为y=m3x+n3，
则 ，解得： ，
则直线PQ解析式为y=6x?26；
②设M（0，n），
由①知AP的解析式为y=nx+n、AQ 解析式为y=?nx?n，
联立 ，
整理，可得：x2?（4+n）x?（5+n）=0，
解得：x1=?1、x2=5+n，
则xp=5+n，
同理可得xQ=5?n，
设直线PQ解析式为y=kx+b，
 联立 ，
整理，得：x2?（4+k）?（5+b）=0，
则xp+xq=4+k，
5?n+5+n=4+k，
则k=6；
故答案为：6．

（2）∵S△ABP=3S△ABQ，
∴yP=?3yQ，
∴kxP+b=?3（kxQ+b），
∵k=6，
所以6xP+18xQ=?4b，
∴6（5+n）+18（5?n）=?4b，
解得：b=3n?30，
∵xP•xQ=?（5+b）=?5?3n+30=（5+n）（5?n），
解得：n=3或n=0（舍去），
则b=3×3?30=?21
∴直线PQ的解析式为y=6x?21．

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